Расположите следующие числа в порядке возрастания:
- \(\displaystyle \sqrt{18}\)
- \(\displaystyle 2\sqrt{6}\)
- \(\displaystyle 5\)
- \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{6}\)
Сравнение положительных иррациональных чисел
Для положительных числе \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) верно, что
\(\displaystyle a<b\)
тогда и только тогда, когда
\(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)
1. Первый способ сравнения \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{6}\)
Воспользуемся правилом и сравним квадраты первых трех чисел:
\(\displaystyle (\sqrt{18})^2=18{\small ,}\)
\(\displaystyle (2\sqrt{6})^2=2^2\cdot (\sqrt{6})^2=4\cdot 6=24{\small ,}\)
\(\displaystyle 5^2=25{\small .}\)
Поэтому пока мы можем записать:
\(\displaystyle \sqrt{18}<2\sqrt{6}<5{\small .}\)
Теперь сравним \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{6}\) с каждым из этих чисел.
Таким образом,
\(\displaystyle \sqrt{18}<\sqrt{5}+\sqrt{6}<2\sqrt{6}<5{\small .}\)
2. Второй способ сравнения \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{6}\)
Возведём \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{6}\) в квадрат. Получаем:
\(\displaystyle (\sqrt{5}+\sqrt{6})^2=(\sqrt{5})^2+2\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{ 6}+(\sqrt{6})^2=11+2\sqrt{30}{\small .}\)
Так как \(\displaystyle 5<\sqrt{30}<6{\small ,}\) то
\(\displaystyle 11+2\cdot \color{green}{5}<11+2\color{green}{\sqrt{30}}<11+2\cdot \color{green}{6}{\small ,}\)
\(\displaystyle 21<11+2\sqrt{30}<23{\small .}\)
Возводя каждое из данных нам в начале чисел в квадрат, получаем:
\(\displaystyle (\sqrt{18})^2=18{\small ,}\)
\(\displaystyle (2\sqrt{6})^2=2^2\cdot (\sqrt{6})^2=4\cdot 6=24{\small ,}\)
\(\displaystyle 5^2=25{\small .}\)
Так как \(\displaystyle (\sqrt{5}+\sqrt{6})^2=11+2\sqrt{30}\) расположено между \(\displaystyle 21\) и \(\displaystyle 23{\small ,}\) то
\(\displaystyle (\sqrt{18})^2=18<11+2\sqrt{30}=(\sqrt{5}+\sqrt{6})^2<24=(2\sqrt{6})^2<25=5^2{\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \sqrt{18}<\sqrt{5}+\sqrt{6}<2\sqrt{6}<5{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{18}<\sqrt{5}+\sqrt{6}<2\sqrt{6}<5{\small .}\)