Запишите уравнение параболы, полученной с помощью сдвига параболы \(\displaystyle y=x^2\) на \(\displaystyle 3\) единицы влево (вдоль оси \(\displaystyle \rm OX\)).
\(\displaystyle y=(x\)\(\displaystyle )^{\,2}\)
Если некоторую точку с координатами \(\displaystyle (x_0\,; y_0)\) сдвинуть на \(\displaystyle a\) единиц влево вдоль оси \(\displaystyle \rm OX\), то получим точку с координатами \(\displaystyle (x_0- a\,; y_0){\small :}\)
Пусть
\(\displaystyle x^{\prime}=x_0-\color{red}{a}\) и \(\displaystyle y^{\prime}=y_0{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \color{blue}{x_0}=\color{blue}{x^{\prime}+ \color{red}{a}}\) и \(\displaystyle \color{green}{y_0}=\color{green}{y^{\prime}}{\small .}\)
Поэтому, если в \(\displaystyle \color{green}{y_0}=f(\color{blue}{x_0})\) заменить \(\displaystyle \color{blue}{x_0}\) на \(\displaystyle \color{blue}{x^{\prime}}+ \color{red}{a}\) и \(\displaystyle \color{green}{y_0}\) на \(\displaystyle \color{green}{y^{\prime}}{ \small ,}\) то получаем
\(\displaystyle \color{green}{y^{\prime}}=f(\color{blue}{x^{\prime}}+ \color{red}{a}){\small .}\)
Таким образом,
каждая точка после сдвига на \(\displaystyle \color{red}{a}\) единиц влево вдоль оси \(\displaystyle \rm OX\) удовлетворяет уравнению
\(\displaystyle y=f(x+\color{red}{a}){\small .}\)
Можно сформулировать правило.
Если график функции \(\displaystyle y=x^2 \) сдвинуть на \(\displaystyle \color{red}{a}\) единиц влево вдоль оси \(\displaystyle \rm OX{\small ,}\) то получится график функции
\(\displaystyle y=(x+\color{red}{a})^2{\small .} \)
По условию задачи парабола \(\displaystyle y=x^2\) сдвигается на \(\displaystyle 3\) единицы влево вдоль оси \(\displaystyle \rm OX{\small .}\)
Тогда, согласно правилу, у нас получится график функции
\(\displaystyle y= (x+3)^2{\small . }\)
Ответ:\(\displaystyle y= (x+3)^2{\small . }\)