Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 10 Уравнение \(\displaystyle \frac{1}{\sin^2(x)}+\frac{1}{\sin(x)}-2=0\)

Задание

Уравнение

\(\displaystyle \frac{1}{\sin^2(x)}+\frac{1}{\sin(x)}-2=0\)

равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям:

\(\displaystyle \sin(x)=1\) или \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}{\small.}\)

Решение

Все тригонометрические функции в уравнении – это \(\displaystyle \sin(x){\small.}\)

А еще степени \(\displaystyle \sin(x)\) являются знаменателями дробей.

Тогда удобно сделать замену \(\displaystyle y=\frac{1}{\sin(x)}{\small,}\) получаем:

\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)^2+\frac{1}{\sin(x)}-2=0{\small,}\)

\(\displaystyle y^2+y-2=0{\small.}\)

Получили квадратное уравнение. Решим его.

Корни квадратного уравнения \(\displaystyle y^2+y-2=0{\small:}\)

\(\displaystyle y_1=1\) и \(\displaystyle y_2=-2\)

Дискриминант уравнения:

\(\displaystyle {\rm D}=1^2-4\cdot(-2)=1+8=9\)
и
\(\displaystyle {\rm \sqrt{D}}=\sqrt{9}=3{\small.}\)

Тогда корни равны:

\(\displaystyle y_1=\frac{-1+3}{2}=1{\small,}\)

\(\displaystyle y_2=\frac{-1-3}{2}=-2{\small.}\)

Поскольку \(\displaystyle y=\frac{1}{\sin(x)}{\small,}\) то

\(\displaystyle \frac{1}{\sin(x)}=1\) или \(\displaystyle \frac{1}{\sin(x)}=-2{\small.}\)

Значит, получаем два элементарных тригонометрических уравнения:

\(\displaystyle \sin(x)=1\) или \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}{\small.}\)