Уравнение \(\displaystyle \frac{1}{\sin^2(x)}+\frac{1}{\sin(x)}-2=0\) равносильно двум уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=1\) или \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}\) имеет решения:
\(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
Выберите корни уравнения \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}\) из промежутка \(\displaystyle \left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right]{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{11\pi}{6}\)
Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right]{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\leqslant x_1\leqslant3\pi{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\leqslant\frac{7\pi}{6}+2\pi n\leqslant3\pi{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{3}{2}\leqslant \frac{7}{6}+2n\leqslant 3{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{7}{6}{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{3}{2}- \frac{7}{6}\leqslant 2n\leqslant 3- \frac{7}{6}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{1}{3}\leqslant2n \leqslant \frac{11}{6}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle \frac{1}{6}\leqslant n \leqslant \frac{11}{12}{ \small .}\)
Целых чисел в данном промежутке НЕТ.
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\leqslant x_2\leqslant 3\pi{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\leqslant\frac{11\pi}{6}+2\pi n\leqslant 3\pi{\small.}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{3}{2}\leqslant \frac{11}{6}+2n\leqslant 3{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{11}{6}{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{3}{2}- \frac{11}{6}\leqslant 2n\leqslant 3- \frac{11}{6}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{1}{3}\leqslant2n \leqslant \frac{7}{6}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle -\frac{1}{6}\leqslant n \leqslant \frac{7}{12}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle 0{\small,}\) то есть \(\displaystyle n=0{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=0\) в \(\displaystyle \frac{11\pi}{6}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{11\pi}{6}+2\pi \cdot 0=\frac{11\pi}{6}{\small .}\)
Таким образом, уравнение \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1 }{2}\) на отрезке \(\displaystyle \left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right]\) имеет одно решение \(\displaystyle \frac{11\pi}{6}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{11\pi}{6}{\small .}\)