Так как

\(\displaystyle \sqrt[6]{x}=x^{\frac{1}{6}}\)

и для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) верно формальное правило взятия производной

\(\displaystyle (x^{a})^{\prime}=a\cdot x^{a-1}{\small ,}\)  то без учета области определения получаем

\(\displaystyle (\sqrt[6]{x})^{\prime}=\left(x^{\color{red}{\frac{1}{6}}}\right)^{\prime}=\color{red}{\frac{1}{6}}x^{\color{red}{\frac{1}{6}}-1}=\frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}}{\small .}\)

Степенная функция определена только для положительного аргумента, а функция корня определена либо для неотрицательного аргумента, либо на всей числовой оси. Поэтому верным ответом будет функция, записанная через символы корней:

\(\displaystyle (\sqrt[6]{x})^{\prime}=\frac{1}{6 \sqrt[6]{x^{5}}}{\small .}\)
 

Ответ: \(\displaystyle (\sqrt[6]{x})^{\prime}=\frac{1}{6 \sqrt[6]{x^{5}}}{\small .}\)