Раскроем скобки. Производная суммы равна сумме производных.

То есть 

\(\displaystyle\left(5x^3-6\sqrt{x}+7x - 1\right)^{\prime}=\left(5x^3\right)^{\prime}-\left(6\sqrt{x}\right)^{\prime}+(7x)^{\prime}-(1)^{\prime}{\small.}\)

Согласно правилам дифференцирования \(\displaystyle (c\cdot f(x))^{\prime}=c\cdot(f(x))^{\prime}\) для любого числа \(\displaystyle c{\small.}\) Значит,

• \(\displaystyle \color{green}{\left(5x^3\right)^{\prime}= 5\cdot\left(x^3\right)^{\prime}= 5\cdot\left(3x^{3-1}\right)= 15x^2 }{\small,}\)
• \(\displaystyle \color{blue}{ \left(6\sqrt{x}\right)^{\prime}= 6\cdot\left(\sqrt{x}\right)^{\prime}= 6\cdot\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)= \frac{3}{\sqrt{x}} }{\small,} \)
• \(\displaystyle \textcolor{Purple}{ (7x)^{\prime}= 7\cdot(x)^{\prime}= 7\cdot1= 7 }{\small.} \)

Производная от числа равна \(\displaystyle 0\). Поэтому

• \(\displaystyle \color{black}{(1)^{\prime}= 0}{\small.} \)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle\color{green}{\left(5x^3\right)^{\prime}}-\color{blue}{\left(6\sqrt{x}\right)^{\prime}}+\textcolor{Purple}{(7x)^{\prime}}-\color{black}{(1)^{\prime}}=\color{green}{15x^2}-\color{blue}{\frac{3}{\sqrt{x}}}+\textcolor{Purple}{7}-\color{black}{0}=15x^2-\frac{3}{\sqrt{x}}+7{\small.}\)
 

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle\left(5x^3-6\sqrt{x}+7x - 1\right)^{\prime}=\left(5x^3\right)^{\prime}-\left(6\sqrt{x}\right)^{\prime}+(7x)^{\prime}-(1)^{\prime}=15x^2-\frac{3}{\sqrt{x}}+7{\small.}\)
 

Ответ: \(\displaystyle 15x^2-\frac{3}{\sqrt{x}}+7{\small.}\)