Найдите производную:
При вводе ответа аргумент логарифма и тригонометрической функции запишите в скобках.
Воспользуемся правилом дифференцирования:
Производная произведения
\(\displaystyle\left(\color{green}{f(x)}\cdot\color{blue}{g(x)}\right)^{\prime}=\left(\color{green}{f(x)}\right)^{\prime}\cdot\color{blue}{g(x)}+\color{green}{f(x)}\cdot\left(\color{blue}{g(x)}\right)^{\prime}{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle\left(\color{green}{2^x}\cdot\color{blue}{\sin (x)}\right)^{\prime}=\left(\color{green}{2^x}\right)^{\prime}\cdot\color{blue}{\sin (x)}+\color{green}{2^x}\cdot\left(\color{blue}{\sin (x)}\right)^{\prime}{\small.}\)
Согласно таблице производных, \(\displaystyle \left(2^x\right)^{\prime}=2^x\cdot\ln (2)\) и \(\displaystyle \left(\sin (x)\right)^{\prime}=\cos (x){\small.} \)
Значит,
\(\displaystyle \begin{aligned}\textcolor{green}{\left({2^x}\right)^{\prime}}\cdot{\sin (x)}+{2^x}\cdot\color{blue}{\left({\sin (x)}\right)^{\prime}}=\textcolor{green}{\left({2^x\cdot\ln (2)}\right)}\cdot{\sin (x)}+{2^x}\cdot\color{blue}{\left({\cos (x)}\right)}=\\[10px]=2^x\cdot\ln (2)\cdot\sin (x)+2^x\cdot\cos (x){\small.}\end{aligned}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle\left({2^x}\cdot{\sin (x)}\right)^{\prime}=\left({2^x}\right)^{\prime}\cdot{\sin (x)}+{2^x}\cdot\left({\sin (x)}\right)^{\prime}=2^x\cdot\ln (2)\cdot\sin (x)+2^x\cdot\cos (x){\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 2^x\cdot\ln (2)\cdot\sin (x)+2^x\cdot\cos (x){\small.}\)