На рисунке изображён график функции \(\displaystyle y = f(x){\small .}\) На оси абсцисс отмечены семь точек:\(\displaystyle x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5,\, x_6,\, x_7{\small .}\) В скольких из этих точек производная функции \(\displaystyle f(x)\) положительна?
Убывание, возрастание функции и знак производной
Если функция \(\displaystyle f(x)\) на промежутке \(\displaystyle (\alpha;\, \beta)\) возрастает, то для любого \(\displaystyle x_0 \in (\alpha;\, \beta)\)
\(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\geqslant 0{ \small ,}\) если \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует.
Если функция \(\displaystyle f(x)\) на промежутке \(\displaystyle (\alpha;\, \beta)\) убывает, то для любого \(\displaystyle x_0 \in (\alpha;\, \beta)\)
\(\displaystyle f^{\prime}(x_0) \leqslant 0{ \small ,}\) если \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует.
Рассмотрим, как ведет себя функция в окрестностях точек \(\displaystyle x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5,\, x_6,\, x_7{\small:}\)
Получаем:
| Точки | Поведение функции в окрестности точки | Знак производной в точке |
| \(\displaystyle x_1,x_2, x_4, x_6\) | \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \color{green}{\nearrow}\) | \(\displaystyle f^{\prime}(x)\ge 0\) |
| \(\displaystyle x_3, x_5, x_7\) | \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \color{blue}{\searrow}\) | \(\displaystyle f^{\prime}(x) \le 0\) |
Ни в одной из выделенных точек касательная не параллельна оси \(\displaystyle \rm OX{\small.}\) Значит, во всех этих точках производная не равна нулю.
То есть в таблице все знаки неравенств строгие:
| Точки | Знак производной в точке |
| \(\displaystyle x_1,x_2, x_4, x_6\) | \(\displaystyle f^{\prime}(x)> 0\) |
| \(\displaystyle x_3, x_5, x_7\) | \(\displaystyle f^{\prime}(x) < 0\) |
Значит, производная положительна в четырех точках.
Ответ: \(\displaystyle 4{\small.}\)