На рисунке изображён график \(\displaystyle {y=f'\left(x\right)}\) – производной функции \(\displaystyle f\left(x\right){\small,}\) определённой на интервале \(\displaystyle \left(-2; 12\right){\small.}\) Найдите промежутки убывания функции \(\displaystyle f\left(x\right){\small.}\) В ответе укажите длину наибольшего из них.
Вспомним зависимость между знаком производной и поведением функции:
| Знак производной | Поведение функции |
| Если \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)> 0\) для любого \(\displaystyle x_0\in (a;\, b)\) | то функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает на \(\displaystyle (a;\, b)\) |
| Если \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)< 0\) для любого \(\displaystyle x_0\in (a;\, b)\) | то функция \(\displaystyle f(x)\) убывает на \(\displaystyle (a;\, b)\) |
Найдем промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small.}\)
Отметим точки, в которых график пересекает ось \(\displaystyle \rm OX{\small,}\) то есть точки, где \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)= 0{\small : }\)
График разбился на интервалы, где \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)> 0\) и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)< 0{\small :}\)
Для интервалов знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) отметим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)
Найдем длину получившихся интервалов убывания функции:
Получаем, что длина наибольшего интервала убывания равна \(\displaystyle 6{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 6{\small.}\)
При переходе через точки, где \(\displaystyle f^{\prime}(x)\) равна нулю, производная меняет свой знак.
Значит, это точки экстремума.
А точки экстремума не включаются в промежутки возрастания или убывания функции.