Решите уравнение (запишите множество корней через точку с запятой, если решений нет, то ответом явлется пустое множество):
\(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+11}=2{\small .}\)
Уравнение вида \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\)
- Если \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) равносильно уравнению \(\displaystyle f(x)=a^2{ \small ,}\)
- если \(\displaystyle a< 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) не имеет действительных решений.
В нашем случае \(\displaystyle f(x)=x^2-8x+11\) и \(\displaystyle a=2{\small .}\) Так как \(\displaystyle 2 \ge 0{ \small ,}\) то
уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+11}=2\) равносильно уравнению \(\displaystyle x^2-8x+11=2^2{\small .}\)
Отсюда получаем:
\(\displaystyle x^2-8x+11=4{ \small .}\)
Вычтем из обоих частей уравнения \(\displaystyle 4 {\small :}\)
\(\displaystyle x^2-8x+7=0{ \small .}\)
Решим полученное квадратное уравнение:
\(\displaystyle x^2-8x+7=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle {\rm D}= (-8)^2-4\cdot 7{ \small ,}\)
\(\displaystyle {\rm D}= 36{\small ,}\)
| \(\displaystyle x_1=\frac{-(-8)-\sqrt{36}}{2}{ \small ,}\) | \(\displaystyle x_2=\frac{-(-8)+\sqrt{36}}{2}{ \small ,}\) |
\(\displaystyle x_1=\frac{8-6}{2}{ \small ,}\) | \(\displaystyle x_2=\frac{8+6}{2}{ \small ,}\) |
| \(\displaystyle x_1=1{\small ;}\) | \(\displaystyle x_2=7{\small .}\) |
Ответ:\(\displaystyle \{1;\, 7\}{\small .}\)