Решите уравнение (запишите множество корней, если решений нет, то ответом явлется пустое множество):
\(\displaystyle \sqrt{x^2+3x+7}=1{\small .}\)
Уравнение вида \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\)
- Если \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) равносильно уравнению \(\displaystyle f(x)=a^2{ \small ,}\)
- если \(\displaystyle a< 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) не имеет действительных решений.
В нашем случае \(\displaystyle f(x)=x^2+3x+7\) и \(\displaystyle a=1{\small .}\) Так как \(\displaystyle 1 \ge 0{ \small ,}\) то
уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2+3x+7}=1\) равносильно уравнению \(\displaystyle x^2+3x+7=1^2{\small .}\)
Отсюда получаем:
\(\displaystyle x^2+3x+7=1{ \small ,}\)
Вычтем из обоих частей уравнения \(\displaystyle 1 {\small :}\)
\(\displaystyle x^2+3x+6=0{ \small .}\)
Решим полученное квадратное уравнение:
\(\displaystyle x^2+3x+6=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle {\rm D}= (3)^2-4\cdot 4,\)
\(\displaystyle {\rm D}= -7<0{\small .}\)
Следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ:\(\displaystyle \empty{\small .}\)