Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \log_{\sqrt[3]{25}} \sqrt{125} = \)
Представим основание и подлогарифмическое выражение логарифма \(\displaystyle \log_{\sqrt[3]{25}} \sqrt{125} \) в виде степеней с одинаковым основанием \(\displaystyle 5:\)
\(\displaystyle \sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{5^2}=5^{\frac{2}{3}} , \)
\(\displaystyle \sqrt{125}=\sqrt{5^3}=5^{\frac{3}{2}}{\small.} \)
Тогда
\(\displaystyle \log_{\sqrt[3]{25}} \sqrt{125} = \log_{5^{\frac{2}{3}}} 5^{\frac{3}{2}} {\small.}\)
Применим свойства логарифма, связанные со степенями:
\(\displaystyle \log_a b^{\color{blue}{k}}=\color{blue}{k} \log_a b \)
\(\displaystyle \log_{a^{\color{red}{p}}} b=\frac{1}{\color{red}{p}} \log_a b \)
\(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1, p\, \cancel=\,0 )\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_{5^{\color{red}{\frac{2}{3}}}} 5^{\color{blue}{\frac{3}{2}}}=\frac{ \color{blue}{\phantom{1}\frac{3}{2}\phantom{1}}}{\color{red}{\frac{2}{3}}}\log_{5} 5=\frac{9}{4}\log_{5} 5 {\small.}\)
Найдем значение полученного более простого логарифма:
\(\displaystyle \log_5 5=1 {\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{9}{4}\log_{5} 5=\frac{9}{4} \cdot 1=\frac{9}{4}=2{,}25 {\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \log_{\sqrt[3]{25}} \sqrt{125} = \log_{5^{\frac{2}{3}}} 5^{\frac{3}{2}}=\frac{ \phantom{1}\frac{3}{2}\phantom{1}}{\frac{2}{3}}\log_{5} 5=\frac{9}{4}\log_{5} 5=\frac{9}{4}=2{,}25{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 2{,}25 {\small.} \)