Найдите значение выражения \(\displaystyle \log_{a} \frac{a^2}{b \phantom 1} ,\) если \(\displaystyle \log_{a} b=2 {\small .}\)
\(\displaystyle \log_{a} \frac{a^2}{b \phantom 1}=\)
Из условия задачи \(\displaystyle a>0, b>0, a \, \cancel= \,1.\)
Упростим \(\displaystyle \log_{a} \frac{a^2}{b \phantom 1} {\small.} \)
Применим свойство логарифма:
\(\displaystyle \log_x \frac{y}{z}=\log_x y-\log_x z\)
\(\displaystyle (y>0, z>0, x>0,x \, \cancel= \,1 )\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_{a} \frac{a^2}{b \phantom 1}=\log_{a} a^2-\log_{a} b {\small.}\)
Найдем значение первого слагаемого:
\(\displaystyle \log_{a} a^2=2 {\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \log_{a} a^2-\log_{a} b=2-\log_{a} b{\small.}\)
Подставим данное в условии значение \(\displaystyle \log_{a} b=2 {\small :}\)
\(\displaystyle 2-\log_{a} b=2- 2=0{\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \log_{a} \frac{a^2}{b \phantom 1}=\log_{a} a^2-\log_{a} b=2-\log_{a} b=2-2=0 {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 0 {\small.} \)