Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 09 \(\displaystyle \dfrac{\log_{2}{(32x)}-1}{\log^2_{2}{x}-\log_{2}{x^5}} \geqslant -1\)

Задание

Решите неравенство

\(\displaystyle \dfrac{\log_{2}{(32x)}-1}{\log^2_{2}{x}-\log_{2}{x^5}} \geqslant -1{\small .}\)


\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

\(\displaystyle {\dfrac{\log_{2}{(32x)}-1}{\log^2_{2}{x}-\log_{2}{x^5}} \geqslant -1{\small .}}\)


I. Упростим неравенство так, чтобы в левой части присутствовали только \(\displaystyle \log_{2}{x}{\small }\) и его квадрат.

Все логарифмы в левой части неравенства определены при \(\displaystyle x>0{\small .}\)  

Тогда по свойствам логарифмов: 

\(\displaystyle \log_{2}{(32x)}=\log_{2}{32}+\log_{2}{x}{\small ,}\)

\(\displaystyle \log_{2}{x^5}=5\log_{2}{x}{\small .}\)

В результате преобразований получим неравенство:

\(\displaystyle \dfrac{\log_{2}{x}+4}{\log^2_{2}{x}-5\log_{2}{x}} \geqslant -1{\small .}\)

II. Сделаем замену переменной и решим полученное неравенство.

\(\displaystyle \log_{2}{x}=t{\small .}\) Тогда \(\displaystyle \log^2_{2}{x}=t^2{\small .}\)

Получаем дробно-рациональное неравенство:
 

\(\displaystyle \dfrac{t+4}{t^2-5t} \geqslant -1{\small .}\)


Решим полученное неравенство методом интервалов.

1. Получим нуль в правой части неравенства.

\(\displaystyle \dfrac{t+4}{t^2-5t} +1\geqslant 0{\small .}\)


2. Представим левую часть неравенства в виде рациональной дроби.

\(\displaystyle \dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\geqslant 0{\small .}\) 

3. Найдем нули числителя \(\displaystyle (t-2)^2\) и знаменателя \(\displaystyle t(t-5){\small }\) и расставим точки в области определения неравенства.

Нуль числителя: \(\displaystyle t=2{\small .}\)

Нули знаменателя: \(\displaystyle t=0\) и  \(\displaystyle t=5{\small .}\)

Поскольку неравенство нестрогое, то 

  • все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными точками;
  • все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми точками.

Так как \(\displaystyle t=2 \) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то  \(\displaystyle t=2\) обозначается закрашенной точкой.

Поскольку \(\displaystyle t=0\) и \(\displaystyle t=5\) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми точками:

Получили четыре интервала:

\(\displaystyle (-\infty;0){ \small ,} \, (0;2){ \small ,} \ (2;5)\)  и \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)

4. Расставим знаки.


Определим знак функции \(\displaystyle f(x)= \dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\) на каждом из интервалов.\(\displaystyle \\\)


5. Запишем ответ.

Решения неравенства \(\displaystyle \dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\geqslant 0{\small }\) соответствуют промежуткам, где функция принимает положительные значения и включают невыколотые граничные точки. 

Тогда неравенство выполняется при

\(\displaystyle \color{Blue}{t<0}\) или \(\displaystyle \color{Blue}{t=2}\) или \(\displaystyle \color{Blue}{t>5{\small.}}\)


III. Вернёмся к переменной \(\displaystyle x{\small.}\) 

У нас \(\displaystyle t=\log_{2}{x}{\small .}\)

Тогда:

\(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}<0}\) или \(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}=2}\) или \(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}>5{\small .}}\)

Решением неравенства \(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}<0}\) является промежуток \(\displaystyle \color{Blue}{(0;1){\small .}}\)

Решением уравнения \(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}=2}\) является число \(\displaystyle \color{Blue}4{\small .}\)

Решением неравенства \(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}>5}\) является промежуток \(\displaystyle \color{Blue}{(32;+\infty){\small .}}\)

Решением исходного неравенства

\(\displaystyle {\dfrac{\log_{2}{(32x)}-1}{\log^2_{2}{x}-\log_{2}{x^5}} \geqslant -1}\)

является объединение найденных промежутков:

\(\displaystyle \color{Blue}{(0;1) \cup\{4\} \cup(32;+\infty){\small .}}\)


Ответ:  \(\displaystyle x \in (0;1) \cup\{4\} \cup(32;+\infty){\small .}\)