\(\displaystyle {\dfrac{\log_{2}{(32x)}-1}{\log^2_{2}{x}-\log_{2}{x^5}} \geqslant -1{\small .}}\)
I. Упростим неравенство так, чтобы в левой части присутствовали только \(\displaystyle \log_{2}{x}{\small }\) и его квадрат.
Все логарифмы в левой части неравенства определены при \(\displaystyle x>0{\small .}\)
Тогда по свойствам логарифмов:
\(\displaystyle \log_{2}{(32x)}=\log_{2}{32}+\log_{2}{x}{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_{2}{x^5}=5\log_{2}{x}{\small .}\)
В результате преобразований получим неравенство:
\(\displaystyle \dfrac{\log_{2}{x}+4}{\log^2_{2}{x}-5\log_{2}{x}} \geqslant -1{\small .}\)
\(\displaystyle {\dfrac{\log_{2}{(32x)}-1}{\log^2_{2}{x}-\log_{2}{x^5}} \geqslant -1{\small ,}}\)
\(\displaystyle \dfrac{\log_{2}{32}+\log_{2}{x}-1}{\log^2_{2}{x}-5\log_{2}{x}} \geqslant -1{\small ,}\)
\(\displaystyle \dfrac{5+\log_{2}{x}-1}{\log^2_{2}{x}-5\log_{2}{x}} \geqslant -1{\small ,}\)
\(\displaystyle \dfrac{\log_{2}{x}+4}{\log^2_{2}{x}-5\log_{2}{x}} \geqslant -1{\small .}\)
II. Сделаем замену переменной и решим полученное неравенство.
\(\displaystyle \log_{2}{x}=t{\small .}\) Тогда \(\displaystyle \log^2_{2}{x}=t^2{\small .}\)
Получаем дробно-рациональное неравенство:
\(\displaystyle \dfrac{t+4}{t^2-5t} \geqslant -1{\small .}\)
Решим полученное неравенство методом интервалов.
1. Получим нуль в правой части неравенства. \(\displaystyle \dfrac{t+4}{t^2-5t} +1\geqslant 0{\small .}\)
2. Представим левую часть неравенства в виде рациональной дроби.
\(\displaystyle \dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\geqslant 0{\small .}\) \(\displaystyle \dfrac{t+4}{t^2-5t} +1\geqslant 0{\small ,}\)
\(\displaystyle \dfrac{t+4+t^2-5t}{t^2-5t}\geqslant 0{\small ,}\)
\(\displaystyle \dfrac{t^2-4t+4}{t^2-5t}\geqslant 0{\small .}\) Выражение в числителе можно представить в виде: \(\displaystyle {t^2-4t+4}=t^2-2 \cdot 2\cdot t+2^2=(t-2)^2{\small .}\) В знаменателе вынесем общий множитель \(\displaystyle t\) за скобку. Получаем: \(\displaystyle \dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\geqslant 0{\small .}\) 3. Найдем нули числителя \(\displaystyle (t-2)^2\) и знаменателя \(\displaystyle t(t-5){\small }\) и расставим точки в области определения неравенства.
Нуль числителя: \(\displaystyle t=2{\small .}\)Нули знаменателя: \(\displaystyle t=0\) и \(\displaystyle t=5{\small .}\) - Решим уравнение \(\displaystyle (t-2)^2=0{\small . } \)
\(\displaystyle t-2=0{\small . } \) \(\displaystyle t = 2{\small .} \) - Решим уравнение \(\displaystyle t(t-5)=0{\small : } \)
\(\displaystyle t=0\) или \(\displaystyle t-5=0{\small ,} \) \(\displaystyle t=5{\small .} \) Поскольку неравенство нестрогое, то - все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными точками;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми точками.
Так как \(\displaystyle t=2 \) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то \(\displaystyle t=2\) обозначается закрашенной точкой. Поскольку \(\displaystyle t=0\) и \(\displaystyle t=5\) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми точками: 
Получили четыре интервала: \(\displaystyle (-\infty;0){ \small ,} \, (0;2){ \small ,} \ (2;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\) 4. Расставим знаки.
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)= \dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\) на каждом из интервалов.\(\displaystyle \\\) - Для интервала \(\displaystyle (-\infty;0)\) выберем \(\displaystyle x=-1{\small :}\)
\(\displaystyle f(0)= \frac{(-1-2)^2}{(-1)(-1-5)}>0{\small .}\) Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;0){\small.}\) - Для интервала \(\displaystyle (0;2)\) выберем \(\displaystyle x=1{\small :}\)
\(\displaystyle f(1)= \frac{(1-2)^2}{1\cdot (1-5)}<0{\small .}\) Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (0;2){\small.}\) - Для интервала \(\displaystyle (2;5)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\)
\(\displaystyle f(4)= \frac{(4-2)^2}{4\cdot (4-5)}<0{\small .}\) Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (2;5){\small.}\) - Для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=6{\small :}\)
\(\displaystyle f(4)= \frac{(6-2)^2}{6\cdot (6-5)}>0{\small .}\) Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (5;+\infty){\small.}\) 
5. Запишем ответ.
Решения неравенства \(\displaystyle \dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\geqslant 0{\small }\) соответствуют промежуткам, где функция принимает положительные значения и включают невыколотые граничные точки. Тогда неравенство выполняется при \(\displaystyle \color{Blue}{t<0}\) или \(\displaystyle \color{Blue}{t=2}\) или \(\displaystyle \color{Blue}{t>5{\small.}}\) |
III. Вернёмся к переменной \(\displaystyle x{\small.}\)
У нас \(\displaystyle t=\log_{2}{x}{\small .}\)
Тогда:
\(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}<0}\) или \(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}=2}\) или \(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}>5{\small .}}\)
Решением неравенства \(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}<0}\) является промежуток \(\displaystyle \color{Blue}{(0;1){\small .}}\)
\(\displaystyle \log_{2}{x}<0 \Leftrightarrow \log_{2}{x}<\log_{2}{1} {\small .}\)
Поскольку основание логарифма \(\displaystyle 2>1{\small ,}\) то данное неравенство равносильно системе:
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}x&>\,\,0{\small ,}\\x&<\,\,1{\small .}\\\end{array}\right.\)
То есть, решением данного неравенства является промежуток \(\displaystyle (0;1){\small .}\)
Решением уравнения \(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}=2}\) является число \(\displaystyle \color{Blue}4{\small .}\)
\(\displaystyle {\log_{2}{x}=2}\Leftrightarrow {{x}={2^2=4}}{\small .}\)
Решением неравенства \(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}>5}\) является промежуток \(\displaystyle \color{Blue}{(32;+\infty){\small .}}\)
Поскольку основание логарифма \(\displaystyle 2>1{\small ,}\) то данное неравенство равносильно системе:
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}x&>\,\,0{\small ,}\\x&>32{\small .}\\\end{array}\right.\Leftrightarrow \,\,x>32{\small .}\)
То есть, решением данного неравенства является промежуток \(\displaystyle (32;+\infty){\small .}\)
Решением исходного неравенства
\(\displaystyle {\dfrac{\log_{2}{(32x)}-1}{\log^2_{2}{x}-\log_{2}{x^5}} \geqslant -1}\)
является объединение найденных промежутков:
\(\displaystyle \color{Blue}{(0;1) \cup\{4\} \cup(32;+\infty){\small .}}\)
Ответ: \(\displaystyle x \in (0;1) \cup\{4\} \cup(32;+\infty){\small .}\)
