Алдымен қосылғыштардың жартысында дәл кездесетін кез келген айнымалыны таңдайық  (яғни біздің жағдайда – екі рет). Мысалы, бұл \(\displaystyle x {\small }\) айнымалысы болсын  Аталған айнымалысы бар барлық мүшелерді бір жақшаға, ал қалғандарын басқа жақшаға топтастырамыз:

\(\displaystyle 15\color{red}{x^{\,2}}y^{\,3}z^{\,5}-5z^{\,5}-6\color{red}{x^{\,2}}y^{\,3}+2=(15\color{red}{x^{\,2}}y^{\,3}z^{\,5}-6\color{red}{x^{\,2}}y^{\,3})+(-5z^{\,5}+2) {\small .}\)

Бірінші жақшадағы  \(\displaystyle (15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3})\) өрнегінің ортақ көбейткішін табайық  (біз шешкендей, \(\displaystyle x\) айнымалысы бар).

1. Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші   \(\displaystyle ЕҮОБ(15,6)=3 {\small .}\)
2. \(\displaystyle x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}\) және \(\displaystyle x^{\,2}y^{\,3}\) өрнектеріндегі ең кіші дәреже көрсеткіші бар ортақ айнымалыларды таңдайық, –  бұл \(\displaystyle x^{\,2} \) және \(\displaystyle y^{\,3} {\small .}\)

Яғни, \(\displaystyle (15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3})\) үшін ортақ көбейткіш  \(\displaystyle 3x^{\,2}y^{\,3} {\small }\)  тең. Оны жақшаның сыртына шығара отырып, бізде :

\(\displaystyle 15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3}=3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2) {\small .}\)

Әрі қарай екінші жақшадағы \(\displaystyle (-5z^{\,5}+2) {\small }\) өрнегінің ортақ көбейткішін табайық

1. Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(5,2)=1.\)
2. Жақшадағы бірінші қосылғыш \(\displaystyle z^{\,5}{\small }\) айнымалысының дәрежесін қамтитыны, ал екіншісінде айнымалы мүлдем жоқ екені анық. Тиісінше, жақшадағы өрнектерде ортақ айнымалы жоқ.

Яғни, \(\displaystyle (-5z^{\,5}+2)\) үшін ортақ көбейткіш  \(\displaystyle 1 {\small }\) тең. Демек, жақшаның сыртына біз ештеңеге шығармаймыз және

\(\displaystyle -5z^{\,5}+2=(-5z^{\,5}+2){\small .}\)

Бастапқы өрнекке орала отырып, келесіні аламыз:

\(\displaystyle (15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3})+(-5z^{\,5}+2)= 3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2)+(-5z^{\,5}+2) {\small .}\)

\(\displaystyle (5z^{\,5}-2)\) және \(\displaystyle (-5z^{\,5}+2)\) көбейткіштері тек таңбамен ерекшеленетінін ескерейік, яғни

\(\displaystyle (-5z^{\,5}+2)=-(5z^{\,5}-2) {\small .}\)

Сондықтан \(\displaystyle (-5z^{\,5}+2)\) көбейткішін \(\displaystyle -(5z^{\,5}-2)\) алмастырамыз:

\(\displaystyle \begin{array}{l}3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2)+\color{red}{(-5z^{\,5}+2)}= \\[10px]\kern{6em} =3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2)+\,\color{red}{\Big(-(5z^{\,5}-2)\Big)}= \\[10px]\kern{12em} =3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2)-\,(5z^{\,5}-2) {\small .}\end{array}\)

Енді өрнектің екі бөлігінде де ортақ көбейткіші бар екенін \(\displaystyle (5z^{\,5}-2) {\small }\) ескерейік. Яғни, оны да жақшаның сыртына шығаруға болады:

\(\displaystyle 3x^{\,2}y^{\,3}\,\color{blue}{(5z^{\,5}-2)}-\color{blue}{(5z^{\,5}-2)}=\color{blue}{(5z^{\,5}-2)} (3x^{\,2}y^{\,3}-1) {\small .}\)

Осылайша,

\(\displaystyle 15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-5z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3}+2=({\bf 5}{\pmb z}^{\,{\bf 5}}-{\bf 2})({\bf 3}{\pmb x}^{\,{\bf 2}}{\pmb y}^{\,{\bf 3}}-{\bf 1}) {\small .}\)

Жауабы: \(\displaystyle (5z^{\,5}-2)(3x^{\,2}y^{\,3}-1) {\small .}\)