Сначала выберем произвольную переменную, которая встречается в точности в половине слагаемых (то есть в нашем случае – дважды). Пусть, например, это будет переменная \(\displaystyle x {\small .}\) Сгруппируем все члены с данной переменной в одни скобки, а остальные – в другие:

\(\displaystyle 15\color{red}{x^{\,2}}y^{\,3}z^{\,5}-5z^{\,5}-6\color{red}{x^{\,2}}y^{\,3}+2=(15\color{red}{x^{\,2}}y^{\,3}z^{\,5}-6\color{red}{x^{\,2}}y^{\,3})+(-5z^{\,5}+2) {\small .}\)

Найдем общий множитель для выражения в первых скобках \(\displaystyle (15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3})\) (которое, как мы решили, содержит переменную \(\displaystyle x\)).

1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(15,6)=3 {\small .}\)
2. Выберем общие переменные у выражений \(\displaystyle x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}\) и \(\displaystyle x^{\,2}y^{\,3}\) с наименьшим показателем степени, –  это \(\displaystyle x^{\,2} \) и \(\displaystyle y^{\,3} {\small .}\)

Значит, общий множитель для \(\displaystyle (15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3})\) равен \(\displaystyle 3x^{\,2}y^{\,3} {\small .}\) Вынося его за скобки, имеем:

\(\displaystyle 15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3}=3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2) {\small .}\)

Далее найдем общий множитель для выражения во вторых скобках \(\displaystyle (-5z^{\,5}+2) {\small .}\)

1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(5,2)=1.\)
2. Очевидно, что первое слагаемое в скобке содержит степень переменной \(\displaystyle z^{\,5}{\small ,}\) а второе вообще не содержит переменной. Соответственно, общей переменной у выражений в скобках нет.

Значит, общий множитель для \(\displaystyle (-5z^{\,5}+2)\) равен \(\displaystyle 1 {\small .}\) Следовательно, за скобки мы ничего не выносим и

\(\displaystyle -5z^{\,5}+2=(-5z^{\,5}+2){\small .}\)

Возвращаясь к исходному выражению, получаем:

\(\displaystyle (15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3})+(-5z^{\,5}+2)= 3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2)+(-5z^{\,5}+2) {\small .}\)

Заметим, что множители \(\displaystyle (5z^{\,5}-2)\) и \(\displaystyle (-5z^{\,5}+2)\) отличаются только знаком, то есть

\(\displaystyle (-5z^{\,5}+2)=-(5z^{\,5}-2) {\small .}\)

Поэтому заменим множитель \(\displaystyle (-5z^{\,5}+2)\) на \(\displaystyle -(5z^{\,5}-2)\):

\(\displaystyle \begin{array}{l} 3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2)+\color{red}{(-5z^{\,5}+2)}= \\[10px] \kern{6em} =3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2)+\,\color{red}{\Big(-(5z^{\,5}-2)\Big)}= \\[10px] \kern{12em} =3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2)-\,(5z^{\,5}-2) {\small .} \end{array}\)

Теперь заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель \(\displaystyle (5z^{\,5}-2) {\small .}\) Значит, его также можно вынести за скобки:

\(\displaystyle 3x^{\,2}y^{\,3}\,\color{blue}{(5z^{\,5}-2)}-\color{blue}{(5z^{\,5}-2)}=\color{blue}{(5z^{\,5}-2)} (3x^{\,2}y^{\,3}-1) {\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle 15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-5z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3}+2=({\bf 5}{\pmb z}^{\,{\bf 5}}-{\bf 2})({\bf 3}{\pmb x}^{\,{\bf 2}}{\pmb y}^{\,{\bf 3}}-{\bf 1}) {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle (5z^{\,5}-2)(3x^{\,2}y^{\,3}-1) {\small .}\)