Алдымен қосылғыштардың жартысында дәл кездесетін кез келген айнымалыны таңдайық  (яғни біздің жағдайда – екі рет). Мысалы, бұл \(\displaystyle x {\small }\) айнымалысы болсын  Аталған айнымалысы бар барлық мүшелерді бір жақшаға, ал қалғандарын басқа жақшаға топтастырамыз:

\(\displaystyle 14\color{red}{x^{\,3}}z^{\,4}-7y^{\,2}z^{\,4}+8\color{red}{x^{\,3}}y-4y^{\,3}=(14\color{red}{x^{\,3}}z^{\,4}+8\color{red}{x^{\,3}}y\,)+(-7y^{\,2}z^{\,4}-4y^{\,3}) {\small .}\)

Бірінші жақшадағы  \(\displaystyle (14x^{\,3}z^{\,4}+8x^{\,3}y\,)\) өрнегінің ортақ көбейткішін табайық  (біз шешкендей, \(\displaystyle x\) айнымалысы бар).

1. Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші   \(\displaystyle ЕҮОБ(14,8)=2 {\small .}\)
2. \(\displaystyle x^{\,3}z^{\,4}\) және \(\displaystyle x^{\,3}y\) өрнектеріндегі ең кіші дәреже көрсеткіші бар ортақ айнымалыларды таңдайық, –  бұл \(\displaystyle x^{\,3} {\small .}\)

Яғни, \(\displaystyle (14x^{\,3}z^{\,4}+8x^{\,3}y\,)\) үшін ортақ көбейткіш  \(\displaystyle 2x^{\,3} {\small }\)  тең. Оны жақшаның сыртына шығара отырып, бізде :

\(\displaystyle 14x^{\,3}z^{\,4}+8x^{\,3}y=2x^{\,3}\,(7z^{\,4}+4y\,) {\small .}\)

Әрі қарай екінші жақшадағы \(\displaystyle (-7y^{\,2}z^{\,4}-4y^{\,3}) {\small }\) өрнегінің ортақ көбейткішін табайық

1. Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші   \(\displaystyle ЕҮОБ(7,4)=1{\small .}\)
2. \(\displaystyle y^{\,2}z^{\,4}\) және \(\displaystyle y^{\,3}\) өрнектеріндегі ең кіші дәреже көрсеткіші бар ортақ айнымалыларды таңдайық, –  бұл \(\displaystyle y^{\,2} {\small .}\)

Яғни, \(\displaystyle (-7y^{\,2}z^{\,4}-4y^{\,3})\) үшін ортақ көбейткіш \(\displaystyle y^{\,2} {\small }\) тең. Оны жақшаның сыртына шығара отырып, бізде :

\(\displaystyle -7y^{\,2}z^{\,4}-4y^{\,3}=y^{\,2}(-7z^{\,4}-4y\,){\small .}\)

Бастапқы өрнекке орала отырып, келесіні аламыз:

\(\displaystyle (14x^{\,3}z^{\,4}+8x^{\,3}y\,)+(-7y^{\,2}z^{\,4}-4y^{\,3})= 2x^{\,3}\,(7z^{\,4}+4y\,)+y^{\,2}(-7z^{\,4}-4y\,) {\small .}\)

 \(\displaystyle (7z^{\,4}+4y\,)\) және \(\displaystyle (-7z^{\,4}-4y\,)\) көбейткіштері тек таңбамен ерекшеленетінін ескерейік, яғни

\(\displaystyle (-7z^{\,4}-4y\,)=-(7z^{\,4}+4y\,) {\small .}\)

Сондықтан \(\displaystyle (-7z^{\,4}-4y\,)\) көбейткішін \(\displaystyle -(7z^{\,4}+4y\,)\) алмастырамыз:

\(\displaystyle \begin{array}{l}2x^{\,3}\,(7z^{\,4}+4y\,)+y^{\,2}\,\color{red}{(-7z^{\,4}-4y\,)}= \\[10px]\kern{5em} =2x^{\,3}\,(7z^{\,4}+4y\,)+y^{\,2}\,\color{red}{\Big(-(7z^{\,4}+4y\,)\Big)}= \\[10px]\kern{10em} =2x^{\,3}\,(7z^{\,4}+4y\,)-y^{\,2}\,(7z^{\,4}+4y\,) {\small .}\end{array}\)

Енді өрнектің екі бөлігінде де \(\displaystyle (7z^{\,4}+4y\,) {\small }\) ортақ көбейткіші бар екенін ескерейік Яғни, оны да жақшаның сыртына шығаруға болады:

\(\displaystyle 2x^{\,3}\,\color{blue}{(7z^{\,4}+4y\,)}-y^{\,2}\,\color{blue}{(7z^{\,4}+4y\,)}=\color{blue}{(7z^{\,4}+4y\,)} (2x^{\,3}-y^{\,2}) {\small .}\)

Осылайша,

\(\displaystyle 14x^{\,3}z^{\,4}-7y^{\,2}z^{\,4}+8x^{\,3}y-4y^{\,3}=({\bf 7}{\pmb z}^{\,{\bf 4}}+{\bf 4}{\pmb y}\,)({\bf 2}{\pmb x}^{\,{\bf 3}}-{\pmb y}^{\,{\bf 2}}) {\small .}\)

Жауабы: \(\displaystyle (7z^{\,4}+4y\,)(2x^{\,3}-y^{\,2}) {\small .}\)