Алдымен ортақ көбейткішті табайық.

1. Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішін табайық:

• \(\displaystyle 32=2^5\)
• \(\displaystyle 24=2^3\cdot 3\)
• \(\displaystyle 112=2^4\cdot 7\)
• \(\displaystyle 84=2^2\cdot 3\cdot 7\)

Жай көбейткіштерге жіктеуден ең үлкен ортақ бөлгіш \(\displaystyle 2^2=4{\small }\) тең екендігі шығады

2. \(\displaystyle x^{\,10}y^{\,9}z^{\,8}, \, x^{\,5}y^{\,5}z^{\,14}, \,x^{\,8}y^{\,4}z^{\,5}\) және \(\displaystyle x^{\,3}z^{\,11}\) өрнектеріндегі ең кіші дәреже көрсеткіші бар ортақ айнымалыларды таңдайық, – бұл \(\displaystyle x^{\,3}\) және \(\displaystyle z^{\,5} {\small .}\)

Осылайша, ортақ көбейткіш \(\displaystyle 4x^{\,3}z^{\,5}{\small }\) тең. Оны жақшаның сыртына шығарайық:

\(\displaystyle 32x^{\,10}y^{\,9}z^{\,8}+24x^{\,5}y^{\,5}z^{\,14}+112x^{\,8}y^{\,4}z^{\,5}+84x^{\,3}z^{\,11}=\)

\(\displaystyle =4x^{\,3}z^{\,5}\,(8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9}+28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6}){\small .}\)

Берілген өрнектен әрбір айнымалы өрнектің үш мүшесінде кездесетінін көруге болады, сондықтан біз мүшелердің дәл жартысында, яғни екі рет кездесетін айнымалыны таңдай алмаймыз . Бұл жағдайда кез-келген айнымалыны таңдаймыз, мысалы, \(\displaystyle x\):

\(\displaystyle 8\color{red}{x^{\,7}}y^{\,9}z^{\,3}+6\color{red}{x^{\,2}}y^{\,5}z^{\,9}+28\color{red}{x^{\,5}}y^{\,4}+21z^{\,6}{\small .}\)

Ең үлкен дәрежеде \(\displaystyle x\) айнымалысы бар мүшені (бұл \(\displaystyle 8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}\)) және берілген айнымалыны қамтитын кез – келген басқа мүшені (мысалы, \(\displaystyle 6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9}\)) бір жақшаға, ал қалған барлық мүшелерді басқаларына топтастырамыз:

\(\displaystyle (8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9})+(28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6}) {\small .}\)

Бірінші жақшадағы  \(\displaystyle (8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9}) {\small }\) өрнегінің ортақ көбейткішін табайық 

1. Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(8,6)=2 {\small .}\)
2. \(\displaystyle x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}\) және \(\displaystyle x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9}\) өрнектеріндегі ең кіші дәреже көрсеткіші бар ортақ айнымалыларды таңдайық, –  бұл \(\displaystyle x^{\,2}, \, y^{\,5}\) және \(\displaystyle z^{\,3} {\small .}\)

Яғни, \(\displaystyle (8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9})\) үшін ортақ көбейткіш  \(\displaystyle 2x^{\,2}y^{\,5}z^{\,3} {\small }\) тең. Оны жақшаның сыртына шығара отырып, бізде :

\(\displaystyle 8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9}=2x^{\,2}y^{\,5}z^{\,3}\,(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6}) {\small .}\)

Әрі қарай екінші жақшадағы \(\displaystyle (28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6}) {\small }\) өрнегінің ортақ көбейткішін табайық

1. Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші тең   \(\displaystyle ЕҮОБ(28,21)=7{\small .}\)
2.  \(\displaystyle x^{\,5}y^{\,4}\) және \(\displaystyle z^{\,6}\) өрнектерінің ортақ айнымалылары жоқ екені анық.

Яғни, \(\displaystyle (28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6})\) үшін ортақ көбейткіш  \(\displaystyle 7 {\small }\) тең. Оны жақшаның сыртына шығара отырып, бізде :

\(\displaystyle 28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6}=7(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6}){\small .}\)

Бастапқы өрнекке орала отырып, келесіні аламыз:

\(\displaystyle (8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9})+(28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6})= 2x^{\,2}y^{\,5}z^{\,3}\,(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6})+7(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6}){\small .}\)

Өрнектің екі бөлігінде де \(\displaystyle (4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6}) {\small }\)  ортақ көбейткіші бар екенін ескерейік Яғни, оны да жақшаның сыртына шығаруға болады:

\(\displaystyle 2x^{\,2}y^{\,5}z^{\,3}\,\color{blue}{(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6})}+7\color{blue}{(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6})}=\color{blue}{(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6})} (2x^{\,2}y^{\,5}z^{\,3}+7) {\small .}\)

Осылайша,

\(\displaystyle 32x^{\,10}y^{\,9}z^{\,8}+24x^{\,5}y^{\,5}z^{\,14}+112x^{\,8}y^{\,4}z^{\,5}+84x^{\,3}z^{\,11}=\)
\(\displaystyle ={\bf 4}{\pmb x}^{\,{\bf 3}}{\pmb z}^{\,{\bf 5}}\,(8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9}+28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6})=\)
\(\displaystyle ={\bf 4}{\pmb x}^{\,{\bf 3}}{\pmb z}^{\,{\bf 5}}\,({\bf 4}{\pmb x}^{\,{\bf 5}}{\pmb y}^{\,{\bf 4}}+{\bf 3}{\pmb z}^{\,{\bf 6}})({\bf 2}{\pmb x}^{\,{\bf 2}}{\pmb y}^{\,{\bf 5}}{\pmb z}^{\,{\bf 3}}+{\bf 7}) {\small .}\)

Жауабы: \(\displaystyle 4x^{\,3}z^{\,5}(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6})(2x^{\,2}y^{\,5}z^{\,3}+7){\small .}\)