Алдымен ортақ көбейткішті табайық.

1. Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішін табайық:

• \(\displaystyle 54=2\cdot 3^3\)
• \(\displaystyle 36=2^2\cdot 3^2\)
• \(\displaystyle 63=3^2\cdot 7\)
• \(\displaystyle 42=2\cdot 3\cdot 7\)

Жай көбейткіштерге жіктеуден ең үлкен ортақ бөлгіш \(\displaystyle 3{\small }\) тең екендігі шығады. 

2. \(\displaystyle x^{\,9}y^{\,13}z^{\,20}, \, x^{\,3}y^{\,11}z^{\,12}, \, x^{\,6}y^{\,5}z^{\,14}\) және \(\displaystyle y^{\,3}z^{\,6}\) өрнектеріндегі ең кіші дәреже көрсеткіші бар ортақ айнымалыларды таңдайық, – бұл \(\displaystyle y^{\,3}\) және \(\displaystyle z^{\,6} {\small .}\)

Осылайша, ортақ көбейткіш \(\displaystyle 3y^{\,3}z^{\,6}{\small }\) тең Оны жақшаның сыртына шығарайық:

\(\displaystyle 54x^{\,9}y^{\,13}z^{\,20}+36x^{\,3}y^{\,11}z^{\,12}-63x^{\,6}y^{\,5}z^{\,14}-42y^{\,3}z^{\,6}=\)

\(\displaystyle =3y^{\,3}z^{\,6}\,(18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14){\small .}\)

Берілген өрнектен әрбір айнымалы өрнектің үш мүшесінде кездесетінін көруге болады, сондықтан біз мүшелердің дәл жартысында, яғни екі рет кездесетін айнымалыны таңдай алмаймыз . Бұл жағдайда кез-келген айнымалыны таңдаймыз, мысалы, \(\displaystyle y\):

\(\displaystyle 18x^{\,9}\color{red}{y^{\,10}}z^{\,14}+12x^{\,3}\color{red}{y^{\,8}}z^{\,6}-21x^{\,6}\color{red}{y^{\,2}}z^{\,8}-14{\small .}\)

Ең үлкен дәрежеде \(\displaystyle y\)  айнымалысы бар мүшені (бұл \(\displaystyle 18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}\)) және берілген айнымалыны қамтитын кез – келген басқа мүшені (мысалы, \(\displaystyle 12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\)) бір

\(\displaystyle (18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6})+(-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14) {\small .}\)

Бірінші жақшадағы \(\displaystyle (18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}) {\small }\) өрнегінің ортақ көбейткішін табайық 

1. Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(18,12)=6 {\small .}\)
2. \(\displaystyle x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}\) және \(\displaystyle x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\) өрнектеріндегі ең кіші дәреже көрсеткіші бар ортақ айнымалыларды таңдайық, – бұл \(\displaystyle x^{\,3}, \, y^{\,8}\) және \(\displaystyle z^{\,6} {\small .}\)

Яғни, \(\displaystyle (18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6})\) үшін ортақ көбейткіш \(\displaystyle 6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6} {\small }\) тең Оны жақшаның сыртына шығара отырып, бізде :

\(\displaystyle 18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}=6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2) {\small .}\)

Әрі қарай екінші жақшадағы \(\displaystyle (-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14) {\small .}\) өрнегінің ортақ көбейткішін табайық. Соңғы қосылғыш сан болғандықтан, тек ортақ сандық көбейткішті шығаруға болады.

Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіш \(\displaystyle ЕҮОБ(21,14)=7{\small .}\)

Яғни, \(\displaystyle (-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14)\) үшін ортақ көбейткіш \(\displaystyle 7 {\small }\) тең Оны жақшаның сыртына шығара отырып, бізде :

\(\displaystyle -21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14=7(-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2){\small .}\)

Бастапқы өрнекке орала отырып, келесіні аламыз:

\(\displaystyle \begin{aligned}(18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6})&+(-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14)=\\&=6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)+7(-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2){\small .}\end{aligned}\)

\(\displaystyle (3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)\) және \(\displaystyle (-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2)\) көбейткіштері тек таңбамен ерекшеленетінін ескерейік, яғни

\(\displaystyle (-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2)=-(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2) {\small .}\)

Сондықтан \(\displaystyle (-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2)\) көбейткішін  \(\displaystyle -(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)\) алмастырамыз:

\(\displaystyle \begin{array}{l}6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)+7\,\color{red}{(-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2)}= \\[10px]\kern{6em} =6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)+7\,\color{red}{\Big(-(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)\Big)}= \\[10px]\kern{12em} =6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)-7\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2) {\small .}\end{array}\)
 

Енді өрнектің екі бөлігінде де \(\displaystyle (3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2) {\small }\)   ортақ көбейткіші бар екенін ескерейік Яғни, оны да жақшаның сыртына шығаруға болады:

\(\displaystyle 6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,\color{blue}{(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)}-7\,\color{blue}{(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)}=\color{blue}{(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)} (6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}-7) {\small .}\)

Осылайша,

\(\displaystyle 54x^{\,9}y^{\,13}z^{\,20}+36x^{\,3}y^{\,11}z^{\,12}-63x^{\,6}y^{\,5}z^{\,14}-42y^{\,3}z^{\,6}=\)
\(\displaystyle ={\bf 3}{\pmb y}^{\,{\bf 3}}{\pmb z}^{\,{\bf 6}}\,(18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14)=\)
\(\displaystyle ={\bf 3}{\pmb y}^{\,{\bf 3}}{\pmb z}^{\,{\bf 6}}\,({\bf 3}{\pmb x}^{\,{\bf 6}}{\pmb y}^{\,{\bf 2}}{\pmb z}^{\,{\bf 8}}+{\bf 2})({\bf 6}{\pmb x}^{\,{\bf 3}}{\pmb y}^{\,{\bf 8}}{\pmb z}^{\,{\bf 6}}-{\bf 7}) {\small .}\)

Жауабы: \(\displaystyle 3y^{\,3}z^{\,6}(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)(6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}-7){\small .}\)