Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теориясы: Квадрат теңдеуді толық квадратты айыру арқылы шешу

Тапсырма

Толық квадратты бөліп алып, квадрат теңдеудің барлық түбірлерін табыңыз:

\(\displaystyle x^2-6x+3=0 {\small . }\)
 

  1. Толық квадратты бөліп алғаннан кейінгі мәндес теңдеу:
    \(\displaystyle \Big(\)\(\displaystyle \Big)^2=\)
     
  2. Теңдеудің түбірлері:         
    \(\displaystyle x_{1}=\)
    3-\sqrt{6}
    ,   \(\displaystyle x_{2}=\)
    3+\sqrt{6}
Шешім

1. Формуланы қолдана отырып, толық квадратты бөліп алайық.

Айырманың квадраты

 \(\displaystyle x^2-6x\) өрнегін екі еселенген көбейтінді анық жазылатындай етіп қайта жазайық:

\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{ 6x}{ \color{red}{2} }=x^2-\color{red}{2}\cdot x \cdot 3{\small .}\)

Формула мен өрнегімізді салыстырайық:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{3}\,+\,?\end{aligned}\)

\(\displaystyle b=3{\small , }\) аламыз , және төменгі өрнекке айырманың квадратын алу үшін \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{3}^2=\color{green}{9}{\small ,}\) қосу керек, яғни

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{3}\,+\color{green}{9}{\small .}\end{aligned}\)

 

\(\displaystyle x^2-6x+3\)

өрнегінде толық квадрат алу үшін \(\displaystyle x^2-6x \) өрнегіне \(\displaystyle 9 \) санын қосып, азайтайық:

\(\displaystyle \left(x^2-6x+\color{green}{9}\right)-\color{green}{ 9}+3=0{\small .}\)

Сол жақтағы айырманың квадратын анық жазайық:

\(\displaystyle \left(x^2-2\cdot x \cdot 3+\color{green}{3^2}\right)-6=0{\small . }\)

Қысқарта отырып, келесіні аламыз:

\(\displaystyle (x-3)^2-6=0;\)

\(\displaystyle (x-3)^2=6{\small . }\)

 

2.  \(\displaystyle \color{red}{ X}^2=a{\small } \) түріндегі теңдеуді шешу үшін ережені қолдана отырып, алынған теңдеуді шешеміз. 

\(\displaystyle x^2=a \) теңдеуінің шешімі

 \(\displaystyle \color{red}{ X}= x-3\) және \(\displaystyle a=6>0{\small , } \) деп есептей отырып  ,   төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle x-3= \sqrt{ 6} \) немесе  \(\displaystyle x-3= -\sqrt{ 6} {\small . } \)

Демек,

\(\displaystyle x=3+ \sqrt{6} \) немесе  \(\displaystyle x= 3- \sqrt{6}{\small . } \)

Жауабы:\(\displaystyle (x-3)^2=6{\small ;}\)
 \(\displaystyle x_1=3+ \sqrt{6} {\small , }\) \(\displaystyle x_2= 3- \sqrt{6}{\small . } \)