Найдите все корни квадратного уравнения:
\(\displaystyle -5z^2-35z+40=0{\small . }\)
\(\displaystyle z_{1}=\) , \(\displaystyle z_{2}=\)
На первом шаге избавимся от старшего коэффициента (коэффициент при \(\displaystyle z^2\)) у квадратного уравнения:
\(\displaystyle -5z^2-35z+40=0{\small , }\)
разделим на \(\displaystyle -5\) обе части уравнения,
\(\displaystyle \frac{-5z^2}{-5}-\frac{35z}{-5}+\frac{40}{-5}=\frac{0}{-5}{\small , }\)
\(\displaystyle z^2+7z-8=0{\small . }\)
Решим квадратное уравнение \(\displaystyle z^2+7z-8=0\) методом выделения полного квадрата.
Воспользуемся правилом.
Квадрат суммы
Для любых \(\displaystyle a,\, b\) верно
\(\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Перепишем выражение \(\displaystyle z^2+7z\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:
\(\displaystyle z^2+\color{red}{2}\cdot \frac{ 7z}{ \color{red}{2} }=z^2+\color{red}{2}\cdot z \cdot \frac{7}{2}{\small .}\)
Сравним формулу и наше выражение:
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{z}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{z} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{z}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{z}\cdot \color{green}{\frac{7}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)
Получаем, что \(\displaystyle b=\frac{7}{2}{\small , }\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\left(\color{green}{\frac{7}{2}}\right)^2=\color{green}{\frac{49}{4}}{\small ,}\) чтобы получить квадрат суммы, то есть
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{z}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{z} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{z}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{z}\cdot \color{green}{\frac{7}{2}}\,+\color{green}{\frac{49}{4}}{\small .}\end{aligned}\)
Поэтому прибавим и вычтем в выражении \(\displaystyle z^2+7z \) число \(\displaystyle \frac{49}{4}\) так, чтобы в выражении
\(\displaystyle z^2+7z-8\)
получить полный квадрат:
\(\displaystyle \left(z^2+7z+\color{green}{\frac{49}{4}}\right)-\color{green}{ \frac{49}{4}}-8=\left(z^2+2\cdot z \cdot \frac{7}{2}+\color{green}{\left(\frac{7}{2}\right)^2}\right)-\frac{81}{4}=\left(z+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{81}{4}{\small . }\)
Значит, \(\displaystyle z^2+7z-8=\left(z+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{81}{4}{\small . }\)
Так как \(\displaystyle z^2+7z-8=\left(z+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{81}{4}{\small , }\) то уравнение
\(\displaystyle z^2+7z-8=0\)
равносильно уравнению
\(\displaystyle \left(z+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{81}{4}=0\)
или
\(\displaystyle \left(z+\frac{7}{2}\right)^2=\frac{81}{4}{\small . }\)
Воспользуемся правилом
Уравнение \(\displaystyle x^2=a\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle a>0{\small :}\)
\(\displaystyle x= \sqrt{a}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt{a} \,{\small ; } \)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle a= 0{\small :}\)
\(\displaystyle x=0 {\small ; }\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle a<0{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle z+\frac{7}{2}= \sqrt{ \frac{81}{4}} \) или \(\displaystyle z+\frac{7}{2}= -\sqrt{ \frac{81}{4}} {\small , } \)
то есть
\(\displaystyle z+\frac{7}{2}=\frac{9}{2}\) или \(\displaystyle z+\frac{7}{2}= -\frac{9}{2}{\small ,} \)
\(\displaystyle z=-\frac{7}{2}+\frac{9}{2} \) или \(\displaystyle z= -\frac{7}{2}-\frac{9}{2} {\small .} \)
Таким образом,
\(\displaystyle z=1\) или \(\displaystyle z= -8{\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle z=1\) или \(\displaystyle z=-8{\small . } \)