Квадрат теңдеудің барлық түбірлерін табыңыз:
\(\displaystyle -5z^2-35z+40=0{\small . }\)
\(\displaystyle z_{1}=\) , \(\displaystyle z_{2}=\)
Бірінші қадамда квадрат теңдеудегі үлкен коэффициенттен ( \(\displaystyle z^2\) кезіндегі коэффициент) құтылайық:
\(\displaystyle -5z^2-35z+40=0{\small , }\)
теңдеудің екі бөлігін де \(\displaystyle -5\) бөлеміз,
\(\displaystyle \frac{-5z^2}{-5}-\frac{35z}{-5}+\frac{40}{-5}=\frac{0}{-5}{\small , }\)
\(\displaystyle z^2+7z-8=0{\small . }\)
\(\displaystyle z^2+7z-8=0\) квадрат теңдеуін толық квадратты бөліп алу арқылы шешейік.
Ережені қолданайық.
Кез келген \(\displaystyle a,\, b\) үшін келесілер дұрыс \(\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)Қосынды квадраты
\(\displaystyle z^2+7z\) өрнегін екі еселенген көбейтінді анық жазылатындай етіп қайта жазайық:
\(\displaystyle z^2+\color{red}{2}\cdot \frac{ 7z}{ \color{red}{2} }=z^2+\color{red}{2}\cdot z \cdot \frac{7}{2}{\small .}\)
Формула мен өрнегімізді салыстырайық:
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{z}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{z} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{z}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{z}\cdot \color{green}{\frac{7}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)
\(\displaystyle b=\frac{7}{2}{\small , }\) аламыз , және төменгі өрнекке қосындының квадратын алу үшін \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\left(\color{green}{\frac{7}{2}}\right)^2=\color{green}{\frac{49}{4}}{\small ,}\) қосу керек, яғни
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{z}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{z} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{z}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{z}\cdot \color{green}{\frac{7}{2}}\,+\color{green}{\frac{49}{4}}{\small .}\end{aligned}\)
\(\displaystyle z^2+7z-8\)
өрнегінде толық квадрат алу үшін \(\displaystyle z^2+7z \) өрнегіне\(\displaystyle \frac{49}{4}\) санын қосып, азайтайық:
\(\displaystyle \left(z^2+7z+\color{green}{\frac{49}{4}}\right)-\color{green}{ \frac{49}{4}}-8=\left(z^2+2\cdot z \cdot \frac{7}{2}+\color{green}{\left(\frac{7}{2}\right)^2}\right)-\frac{81}{4}=\left(z+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{81}{4}{\small . }\)
Демек, \(\displaystyle z^2+7z-8=\left(z+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{81}{4}{\small . }\)
\(\displaystyle z^2+7z-8=\left(z+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{81}{4}{\small , }\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle z^2+7z-8=0\) теңдеуі
төмендегі теңдеуге тең
\(\displaystyle \left(z+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{81}{4}=0\)
немесе
\(\displaystyle \left(z+\frac{7}{2}\right)^2=\frac{81}{4}{\small . }\)
Енді келесі ережені қолданайық:
\(\displaystyle x^2=a\) теңдеуі \(\displaystyle x= \sqrt{a}\) немесе \(\displaystyle x= -\sqrt{a} \,{\small ; } \) \(\displaystyle x=0 {\small ; }\) шешімдері жоқ, егер \(\displaystyle a<0{\small }\) болса
Төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle z+\frac{7}{2}= \sqrt{ \frac{81}{4}} \) немесе \(\displaystyle z+\frac{7}{2}= -\sqrt{ \frac{81}{4}} {\small , } \)
яғни
\(\displaystyle z+\frac{7}{2}=\frac{9}{2}\) немесе \(\displaystyle z+\frac{7}{2}= -\frac{9}{2}{\small ,} \)
\(\displaystyle z=-\frac{7}{2}+\frac{9}{2} \) немесе \(\displaystyle z= -\frac{7}{2}-\frac{9}{2} {\small .} \)
Осылайша,
\(\displaystyle z=1\) немесе \(\displaystyle z= -8{\small . } \)
Жауабы: \(\displaystyle z=1\) немесе \(\displaystyle z=-8{\small . } \)