Формуланы қолдана отырып, толық квадратты таңдайық.

 \(\displaystyle x^2+dx\) өрнегін екі еселенген көбейтінді анық жазылатындай етіп қайта жазайық:

\(\displaystyle x^2+\color{red}{2}\cdot \frac{ dx}{ \color{red}{2} }=x^2+\color{red}{2}\cdot x \cdot \frac{d}{2}{\small .}\)

Формула мен өрнегімізді салыстырайық:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{d}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)

 \(\displaystyle \color{blue}{a} \rightarrow \color{blue}{ x}\) және \(\displaystyle \color{green}{b} \rightarrow \color{green}{ \frac{d}{2}}{\small , }\) аламыз,  және қосындының квадратын алу үшін төменгі өрнекке \(\displaystyle \color{green}{b^2} \rightarrow\color{green}{\frac{d^2}{4}}{\small ,}\) қосу керек,

яғни

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{d}{2}}\,+\color{green}{\frac{d^2}{4}}{\small .}\end{aligned}\)

Сондықтан

\(\displaystyle x^2+dx+c=0\)

өрнегін екі жағынан да \(\displaystyle \color{green}{\frac{d^2}{4}}{\small }\) қосылғышымен толықтырайық:

\(\displaystyle x^2+dx+\color{green}{\frac{d^2}{4}}+c=\color{green}{\frac{d^2}{4}}{\small ,}\)

және сол жақтағы қосындының квадратын анық жазайық:

\(\displaystyle x^2+2\cdot x\cdot \frac{d}{2}+\frac{d^2}{4}+c=\frac{d^2}{4}{\small ; }\)

\(\displaystyle \left(x+\frac{d}{2}\right)^2+c=\frac{d^2}{4}{\small . }\)

Жауабы: \(\displaystyle x^2+dx+\frac{d^2}{4}+c=\frac{d^2}{4}{\small . } \)