Квадраттық теңсіздікке тең сызықтық теңсіздіктер жүйесін жазыңыз
\(\displaystyle x^2-2x-15\le 0{\small.}\)
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle x\), |
\(\displaystyle x\) |
немесе
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle x\), |
\(\displaystyle x\). |
Квадраттық үшмүшені \(\displaystyle x^2-2x-15 \) көбейткіштерге бөлейік.
Коэффициенттерді бөліп көрсетейік:
\(\displaystyle x^2-2x-15=\color{red}{ 1}\cdot x^2\color{green}{ -2}\cdot x\color{blue}{ -15}{\small .}\)
Онда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -2}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -15}{\small .} \)
Осы үшмүшемен квадраттық теңдеу құрайық:
\(\displaystyle x^2-2x-15=0{ \small ,} \)
және оның түбірін табайық.
Дискриминантты есептейміз. Онда
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{(-2)}^2-4\cdot (\color{blue}{ -15})=4+60=64\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 64}=8{\small .} \)
Теңдеудің түбірін табамыз:
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-2)-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3{\small .}\)
\(\displaystyle x_2= \frac{-(-2)+8}{2}=\frac{10}{2}=5{ \small ,}\)
Енді ережені пайдаланып үшмүшені көбейткіштерге жіктейік.
Көбейткіштерге жіктеу
\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)
мұнда \(\displaystyle x_1 \) және \(\displaystyle x_2 \) – квадраттық теңдеу түбірі \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)
Біздің жағдайда үлкен коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) ал түбір \(\displaystyle -3\) және \(\displaystyle 5{\small } \) тең.
Демек,
\(\displaystyle x^2-2x-15=\color{red}{ 1}\cdot (x-3)(x-(-5))=(x+3)(x-5) {\small .}\)
Демек, \(\displaystyle x^2-2x-15\le 0 \) теңсіздік келесі теңсіздіктен асады
\(\displaystyle (x+3)(x-5)\le 0{\small .}\)
Біз оны эквивалентті сызықтық теңсіздіктер жүйесі ретінде жазамыз.
Теңсіздіктің барлық шешімі \(\displaystyle (x+1)(x-5)\le 0\) шығады, егер
- немесе \(\displaystyle x+1\ge 0{ \small ,}\, x-5\le 0\) – бірінші көбейткіш теріс емес, екіншісі оң емес;
- немесе \(\displaystyle x+1\le 0{ \small ,}\, x-5\ge 0\) – бірінші көбейткіш оң емес, екіншісі теріс емес.
Егер бұл жүйелер түрінде қайта жазылса, біз аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+3&\ge 0{ \small ,}\\x-5 &\le 0\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+3&\le 0{ \small ,}\\x-5& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Барлық сандарды барлық теңсіздіктерде оңға жылжыту арқылы біз іздеген жауапты аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge -3{ \small ,}\\x &\le 5\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -3{ \small ,}\\x& \ge 5{\small .}\end{aligned}\right.\)