Запишите системы линейных неравенств, эквивалентных квадратичному неравенству
\(\displaystyle x^2-x-6\ge 0{\small.}\)
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle x\), |
\(\displaystyle x\) |
или
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle x\), |
\(\displaystyle x\). |
Разложим квадратный трехчлен \(\displaystyle x^2-x-6 \) на множители.
Выделим коэффициенты:
\(\displaystyle x^2-x-6=x^2-1\cdot x-6=\color{red}{ 1}\cdot x^2\color{green}{ -1}\cdot x\color{blue}{ -6}{\small .}\)
Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -1}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -6}{\small .} \)
Составим с данным трехчленом квадратное уравнение:
\(\displaystyle x^2-x-6=0{ \small ,} \)
и найдем его корни.
Вычислим дискриминант. Тогда
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{(-1)}^2-4\cdot (\color{blue}{ -6})=1+24=25\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 25}=5{\small .} \)
Найдем корни уравнения:
\(\displaystyle x_1= \frac{-(-1)+5}{2}=\frac{6}{2}=3{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2= \frac{-(-1)-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2{\small .}\)
Теперь разложим трехчлен на множители, используя правило.
Разложение на множители
\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)
где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)
В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle -2{\small .} \)
Значит,
\(\displaystyle x^2-x-6=\color{red}{ 1}\cdot (x-3)(x-(-2))=(x-3)(x+2) {\small .}\)
Значит, неравенство \(\displaystyle x^2-x-6\ge 0 \) превращается в неравенство
\(\displaystyle (x-3)(x+2)\ge 0{\small .}\)
Запишем его в виде системы эквивалентных линейных неравенств.
Все решения неравенства \(\displaystyle (x-3)(x+2)\ge 0\) получаются, когда
- либо \(\displaystyle x-3\ge 0{ \small ,}\, x+2\ge 0\) – оба множителя неотрицательны;
- либо \(\displaystyle x-3\le 0{ \small ,}\, x+2\le 0\) – оба множителя неположительны.
Если это переписать в виде систем, то получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\ge 0{ \small ,}\\x+2 &\ge 0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\le 0{ \small ,}\\x+2& \le 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенося все числа вправо во всех неравенствах, получаем искомый ответ:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 3{ \small ,}\\x &\ge -2\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 3{ \small ,}\\x& \le -2{\small .}\end{aligned}\right.\)