\(\displaystyle 120^\circ \) доғаны ұзындығы \(\displaystyle 2\sqrt{3} \small\) болатын хорда керетін шеңбердің радиусын табыңыз.
 | \(\displaystyle O\) – шеңбердің центрі, \(\displaystyle \\ OA=OC\) – оның радиусы, \(\displaystyle \\ AC=2\sqrt{3},\) \(\displaystyle \overset{\smile}{AC}=120^\circ \) болсын Сонда \(\displaystyle \angle AOC=120^\circ .\)
\(\displaystyle OAC \small\) үшбұрышын қарастырайық \(\displaystyle OA=OC \small\) болғандықтан, ол теңбүйірлі |
Теңбүйірлі үшбұрыштың қасиеті бойынша \(\displaystyle AC\) табанындағы бұрыштар тең.
Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы \(\displaystyle 180^{\circ}{\small } \) тең болғандықтан, онда
\(\displaystyle \angle OAC =\angle OCA = \frac{180^{\circ}-\angle AOC }{2}=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ} \small.\)
\(\displaystyle OAC \small\) үшбұрышының \(\displaystyle OH\) биіктігін жүргізейік.
\(\displaystyle AOC \small\) теңбүйірлі үшбұрыштың табанына түсірілген \(\displaystyle OH\) биіктігі медиана да болғандықтан, онда
\(\displaystyle CH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3} \small.\)
\(\displaystyle OCH \small\) үшбұрышын қарастырайық
\(\displaystyle OCH \small\) үшбұрышында
\(\displaystyle OH=x \small\) болсын Тікбұрышты үшбұрышта \(\displaystyle 30^{\circ}\small\) бұрышқа қарсы жатқан катет гипотенузаның жартысына тең. Яғни, \(\displaystyle OC=2x \small.\) |  |
Пифагор теоремасы бойынша
\(\displaystyle OC^2=OH^2+CH^2\small.\)
Сонда
\(\displaystyle (2x)^2=x^2+(\sqrt{3})^2 \small,\)
\(\displaystyle 4x^2=x^2+3 \small,\)
\(\displaystyle 3x^2=3 \small,\)
\(\displaystyle x^2=1 \small.\)
Кесіндінің ұзындығы оң болғандықтан, онда \(\displaystyle x=1\small ,\)
\(\displaystyle OC=2x=2 \small.\)
Жауабы: \(\displaystyle 2 {\small .}\)