Пусть \(\displaystyle O\) – центр окружности, \(\displaystyle \\ OA=OC\) – ее радиусы, \(\displaystyle \\ AC=2\sqrt{3},\) \(\displaystyle \overset{\smile}{AC}=120^\circ .\) Тогда \(\displaystyle \angle AOC=120^\circ .\)   Рассмотрим треугольник \(\displaystyle OAC \small.\) Он равнобедренный, так как \(\displaystyle OA=OC \small.\)

По свойству равнобедренного треугольника углы при основании \(\displaystyle AC\) равны.

Поскольку сумма углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small ,} \) то

\(\displaystyle \angle OAC =\angle OCA = \frac{180^{\circ}-\angle AOC }{2}=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ} \small.\)

Проведем высоту \(\displaystyle OH\) треугольника \(\displaystyle OAC \small.\) 

Так как высота \(\displaystyle OH\) равнобедренного треугольника \(\displaystyle AOC \small,\) опущенная на основание, является и медианой, то

\(\displaystyle CH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3} \small.\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle OCH \small.\)

В треугольнике \(\displaystyle OCH \small:\) угол \(\displaystyle OHC\) прямой, угол \(\displaystyle OCH\) равен \(\displaystyle 30\) градусов, \(\displaystyle CH=\sqrt{3} \small.\) Пусть \(\displaystyle OH=x \small.\) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(\displaystyle 30^{\circ}\small,\) равен половине гипотенузы. Значит,  \(\displaystyle OC=2x \small.\)

По теореме Пифагора

\(\displaystyle OC^2=OH^2+CH^2\small.\)

Тогда 

\(\displaystyle (2x)^2=x^2+(\sqrt{3})^2 \small,\)

\(\displaystyle 4x^2=x^2+3 \small,\)

\(\displaystyle 3x^2=3 \small,\)

\(\displaystyle x^2=1 \small.\)

Поскольку длина отрезка положительна, то \(\displaystyle x=1\small ,\)

\(\displaystyle OC=2x=2 \small.\)

Ответ: \(\displaystyle 2 {\small .}\)