Шеңбердің радиусы \(\displaystyle 2 \small\) тең. Ұзындығы \(\displaystyle 2\sqrt{3} \small\) болатын хордаға тірелетін сүйір іштей сызылған бұрыштың шамасын табыңыз. Жауабын градуспен беріңіз.
\(\displaystyle O\) – шеңбердің центрі, \(\displaystyle OA=OC=2\) – оның радиустары, \(\displaystyle AC=2\sqrt{3}\) – шартқа сәйкес берілген хорда, \(\displaystyle \angle ABC\) – \(\displaystyle AC \small\) хордасына тірелген іштей сызылған сүйір бұрыш болсын.
Есепте \(\displaystyle \angle ABC \small\) табу керек
\(\displaystyle OAC \small\) үшбұрышын қарастырайық
\(\displaystyle OA=OC \small\) болғандықтан \(\displaystyle OAC\) үшбұрышы теңбүйірлі
\(\displaystyle OAC \small\) үшбұрышының \(\displaystyle OH\) биіктігін жүргізейік
\(\displaystyle AOC \small\) теңбүйірлі үшбұрыштың табанына түсірілген \(\displaystyle OH\) биіктігі медиана да болғандықтан, онда
\(\displaystyle CH=\frac{1}{2} AC=\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt {3}=\sqrt{3} \small.\)
\(\displaystyle OCH \small\) үшбұрышын қарастырайық
 | \(\displaystyle OCH \small \) үшбұрышында
Пифагор теоремасы бойынша \(\displaystyle OC^2=OH^2+CH^2\small.\) Демек, \(\displaystyle OH^2=OC^2-CH^2 \small,\) \(\displaystyle OH^2=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1=1^2\small.\) |
Кесіндінің ұзындығы оң болғандықтан, онда \(\displaystyle OH=1\small.\)
\(\displaystyle OCH\) тікбұрышты үшбұрышта \(\displaystyle OCH \small,\) бұрышына қарсы жатқан катет гипотенузаның жартысына тең. Яғни,
\(\displaystyle \angle OCH =30^{\circ}\small .\)
\(\displaystyle OCH\) үшбұрыш бұрыштарының қосындысы \(\displaystyle 180^{\circ}\small \) тең болғандықтан, онда
\(\displaystyle \angle COH =180^{\circ} - \angle OCH -\angle OHC =180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}\small .\)
Табанға түсірілген теңбүйірлі үшбұрыштың биіктігі биссектриса да болғандықтан, онда
\(\displaystyle \angle AOC =2 \angle COH =2\cdot 60^{\circ}=120^{\circ}\small .\)
\(\displaystyle AOC \) бұрышы – іштей сызылған \(\displaystyle ABC \small\) бұрышпен бірдей доғаға тірелетін орталық бұрыш
\(\displaystyle \angle ABC\) сүйір болғандықтан, онда \(\displaystyle \angle ABC < 90^{\circ} {\small }\) және ереже бойынша
Іштей сызылған және орталық бұрыш шамаларының байланысы
- \(\displaystyle \angle AOC =2 \cdot \angle ABC \small, \) егер \(\displaystyle \angle ABC\leqslant 90^{\circ} \small,\)
- \(\displaystyle \angle AOC =2 \cdot (180^{\circ}-\angle ABC) \small, \) егер \(\displaystyle \angle ABC>90^{\circ} \small.\)
\(\displaystyle \angle AOC =2 \cdot \angle ABC{\small .} \)
Демек,
\(\displaystyle \angle ABC =\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}\cdot 120^{\circ}= 60^{\circ}{\small .} \)
Жауабы: \(\displaystyle 60 {\small .}\)