Викторинаға \(\displaystyle 5\) команда қатысады. Әр команданың күштері әртүрлі және әр кездесуде күшті команда жеңіске жетеді. Бірінші кезеңде кездейсоқ таңдалған екі команда кездеседі. Тең түсу мүмкін емес. Жеңілген команда викторинадан шығарылады, ал жеңген команда кездейсоқ таңдалған келесі командамен кездеседі. Бірінші екі ойында \(\displaystyle А{\small}\) командасы жеңгені белгілі. Осы команданың үшінші кезеңде жеңетінінің ықтималдылығы қандай?
Командалардың рейтингін \(\displaystyle a_1{ \small ,}\,a_2{ \small ,}\,\ldots{\small ,}\,a_5{\small}\) арқылы өсу ретімен орналастырамыз:
\(\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}<a_{5}{\small . }\)
Екі команданың кездесуінде рейтингі жоғары команда жеңеді.
Оқиғаларды енгізейік:
- \(\displaystyle X_{2}\) – \(\displaystyle A\) командасы екі кезеңде жеңді;
- \(\displaystyle X_{3}\) –\(\displaystyle A\) командасы үш кезеңде жеңді.
Онда \(\displaystyle P_{X_2}(X_3)\) –\(\displaystyle A\) командасының алғашқы екі кезеңде жеңген жағдайда ғана үшінші кезеңде жеңу ықтималдылығы.
\(\displaystyle P_{X_2}(X_3){\small}\) табу керек.
Шартты ықтималдылықтың формуласы бойынша
\(\displaystyle P(X_3)=P(X_2)\cdot P_{X_2}(X_3){\small , }\)
бұдан алатынымыз:
\(\displaystyle P_{X_2}(X_3)= \frac{P(X_3)}{P(X_2)} {\small . }\)
\(\displaystyle P(X_{2}){\small}\) табамыз.
Есептің шартынан өзара ойынды бастаған екі команданы аламыз.
Бұл командалардың біреуі екі ойынды қатарынан жеңген.
Ол \(\displaystyle A{\small} \) командасы.
\(\displaystyle A \) командасының рейтингі біріншіден бесіншіге дейін болуы мүмкін.
Демек, келесі гипотезаларды аламыз:
- \(\displaystyle B_1\) –\(\displaystyle A\) командасының рейтингі \(\displaystyle a_{1}{\small}\) тең;
- \(\displaystyle B_2\) –\(\displaystyle A\) командасының рейтингі \(\displaystyle a_{2}{\small}\) тең;
- \(\displaystyle \ldots \)
- \(\displaystyle B_5\) –\(\displaystyle A\) командасының рейтингі \(\displaystyle a_{5}{\small}\) тең.
Онда ықтималдылықтың формуласы бойынша
\(\displaystyle P(X_2)=P(B_1) \cdot P_{B_1}(X_2) +P(B_2) \cdot P_{B_2}(X_2)+\ldots+P(B_5) \cdot P_{B_5}(X_2){\small .}\)
1. Команданың көрсеткіші бес мүмкін нұсқадан кездейсоқ таңдалып алынады. Сондықтан
\(\displaystyle P(B_1)=P(B_2)= \ldots =P(B_5)= \frac {1}{5}{\small .}\)
2. \(\displaystyle A\) командасының екі кезеңде қатарынан жеңуі үшін, жеңілген екі команданың рейтингі одан төмен болуы керек.
Демек, көрсеткіші \(\displaystyle a_{3}{\small}\) төмен команда үшін үш кезеңді жеңу ықтималдылығы нөлге тең:
\(\displaystyle P_{B_1}(X_2)= P_{B_2}(X_2)=0{\small .}\)
3. \(\displaystyle P_{B_3}(X_2)\) – көрсеткіші \(\displaystyle a_3{\small} \) болатын \(\displaystyle A \) командасы үшін екі кезеңді қатарынан жеңу ықтималдылығын табамыз.
\(\displaystyle P_{B_3}(X_2)=P(\text{\scriptsize"бірінші кезеңде жеңу"})\cdot P(\text{\scriptsize"екінші кезеңде жеңу"}){\small .}\)
Ықтималдылықтарды формула бойынша есептеп, кестемен береміз:
| \(\displaystyle A\) командасынан әлсіз қарсыластар саны | Барлық қарсыластар саны | Нәтиже | |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"бірінші кезеңде жеңу"}) \) | \(\displaystyle 2 \) | \(\displaystyle 4 \) | \(\displaystyle \frac{ 2}{ 4 } \) |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"екінші кезеңде жеңу"}) \) | \(\displaystyle 1 \) | \(\displaystyle 4 \) | \(\displaystyle \frac{1}{ 3} \) |
| \(\displaystyle P_{B_3}(X_2)\) | \(\displaystyle \frac{2}{ 4 }\cdot \frac{ 1}{ 3 }\) | ||
4. \(\displaystyle P_{B_4}(X_2)\) – көрсеткіші \(\displaystyle a_4{\small} \) болатын \(\displaystyle A \) командасы үшін екі кезеңді қатарынан жеңу ықтималдылығын табамыз.
Есептеуді тағы да кесте арқылы береміз:
| \(\displaystyle A\) командасынан әлсіз қарсыластар саны | Барлық қарсыластар саны | Нәтиже | |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"бірінші кезеңде жеңу"}) \) | \(\displaystyle 3 \) | \(\displaystyle 4 \) | \(\displaystyle \frac{ 3}{ 4 } \) |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"екінші кезеңде жеңу"}) \) | \(\displaystyle 2 \) | \(\displaystyle 3 \) | \(\displaystyle \frac{ 2}{ 3} \) |
| \(\displaystyle P_{B_4}(X_2)\) | \(\displaystyle \frac{3}{ 4 }\cdot \frac{ 2}{ 3 }\) | ||
5. Көрсеткіші \(\displaystyle a_5{\small} \) болатын \(\displaystyle A \) командасы үшін екі кезеңді қатарынан жеңу ықтималдылығы \(\displaystyle P_{B_5}(X_2)=1\)тең, себебі бұл команда ең жоғары рейтингке ие.
Табылған мәндерді толық ықтималдылықтың формуласына қойып
\(\displaystyle P(X_2)=P(B_1) \cdot P_{X_2}(B_1) +P(B_2) \cdot P_{X_2}(B_2)+\ldots+P(B_5) \cdot P_{B_5}(X_2){\small ,}\)
келесіні аламыз:
\(\displaystyle \begin{aligned}P(X_2)&=\frac {1}{5} \cdot0+\frac {1}{5} \cdot0+\frac {1}{5} \cdot \frac{2}{12} +\frac {1}{5} \cdot \frac{6}{12} \ +\frac {1}{5} \cdot1 =\\[10px]&=\frac {1}{5} \cdot \left(\frac{2}{12} +\frac{6}{12}+1 \right) =\frac {20}{5\cdot 12}=\frac {1}{3}{\small .}\end{aligned}\)
\(\displaystyle P(X_{3})\) – \(\displaystyle A\) командасының үш кезеңде де жеңу ықтималдылығын табамыз.
Алдымен өзара ойынды бастаған екі команданы аламыз.
Ол екі команданың біреуі \(\displaystyle (A) \) үш кездесуді қатарынан жеңген.
\(\displaystyle A \) командасы біріншіден бесіншіге дейінгі рейтингке ие болуы мүмкін.
Демек, келесі гипотезалар болуы мүмкін:
- \(\displaystyle B_1\) –\(\displaystyle A\) командасының көрсеткіші \(\displaystyle a_{1}{\small }\) тең;
- \(\displaystyle B_2\) –\(\displaystyle A\) командасының көрсеткіші \(\displaystyle a_{2}{\small }\) тең;
- \(\displaystyle \ldots \)
- \(\displaystyle B_5\) –\(\displaystyle A\) командасының көрсеткіші \(\displaystyle a_{5}{\small}\) тең.
Онда толық ықтималдылықтың формуласы бойынша
\(\displaystyle P(X_3)=P(B_1) \cdot P_{B_1}(X_3) +P(B_2) \cdot P_{B_2}(X_3)+\ldots+P(B_5) \cdot P_{B_5}(X_3){\small .}\)
1. Команданың көрсеткіші бес мүмкін нұсқадан кездейсоқ таңдалып алынады. Сондықтан
\(\displaystyle P(B_1)=P(B_2)= \ldots =P(B_5)= \frac {1}{5}{\small .}\)
2. \(\displaystyle A\) командасының төрт кезеңде жеңуі үшін жеңілген үш команданың көрсеткіші одан төмен болуы керек.
Демек, көрсеткіші \(\displaystyle a_{4}{\small}\) төмен команда үшін үш кезеңді жеңу ықтималдылығы нөлге тең:
\(\displaystyle P_{B_1}(X_3)= P_{B_2}(X_3)=P_{B_3}(X_3)=0{\small .}\)
3. \(\displaystyle P_{B_4}(X_3)\) – көрсеткіші \(\displaystyle a_{4}{\small}\) тең болтын команда үшін \(\displaystyle 3\) кезеңді қатарынан жеңу ықтималдылығын табамыз.
Есептеуді кесте үрінде жүргіземіз:
| \(\displaystyle A\) командасынан әлсіз қарсыластар саны | Барлық қарсыластар саны | Нәтиже | |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"бірінші кезеңде жеңу"}) \) | \(\displaystyle 3 \) | \(\displaystyle 4 \) | \(\displaystyle \frac{ 3}{ 4 } \) |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"екінші кезеңде жеңу"}) \) | \(\displaystyle 2 \) | \(\displaystyle 3 \) | \(\displaystyle \frac{ 2}{ 3} \) |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"үшінші кезеңде жеңу"}) \) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2 \) | \(\displaystyle \frac{ 1}{ 2} \) |
| \(\displaystyle P_{B_4}(X_3)\) | \(\displaystyle \frac{ 3}{ 4 }\cdot \frac{ 2}{ 3 }\cdot \frac{ 1}{ 2 }= \frac{ 1}{ 4 }\) | ||
4. \(\displaystyle P_{B_5}(X_3)\) – көрсеткіші \(\displaystyle a_{5}{\small}\) болатын команда үшін \(\displaystyle 3\) кезеңді жеңу ықтималдылығын табамыз.
Көрсеткіші \(\displaystyle a_{5}\) болатын команда мықтырақ, сондықтан \(\displaystyle 3\) ойынды \(\displaystyle 1{\small}\) ықтималдылығымен жеңеді.
Табылған ықтималдылықтарды формулаға қойып
\(\displaystyle P(X_3)=P(B_1) \cdot P_{B_1}(X_3) +P(B_3) \cdot P_{B_2}(X_3)+\ldots+P(B_5) \cdot P_{B_5}(X_3){\small ,}\)
келесіні аламыз:
\(\displaystyle \begin{aligned}P(X_3)&=\frac {1}{5} \cdot0+\frac {1}{5} \cdot0+\frac {1}{5} \cdot 0+\frac {1}{5} \cdot \frac{1}{4} \ +\frac {1}{5} \cdot1 =\\[10px]&=\frac {1}{5} \cdot \left(\frac{1}{4}+1 \right) =\frac {1}{4}{\small .}\end{aligned}\)
Табылған \(\displaystyle P(X_{2})\) және \(\displaystyle P(X_{3})\) мәндерін формулаға қойып
\(\displaystyle P_{X_2}(X_3)= \frac{P(X_3)}{P(X_2)} {\small , }\)
келесіні аламыз:
\(\displaystyle P_{X_2}(X_3)= \frac{\phantom{1}\dfrac {1}{4}\phantom{1}}{\dfrac {1}{3}}=\frac {1}{4} \cdot \frac {3}{1}=\frac {3}{4} =0{,}75{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle 0{,}75{\small .}\)