Обозначим в порядке возрастания рейтинги команд через \(\displaystyle a_1{ \small ,}\,a_2{ \small ,}\,\ldots{\small ,}\,a_5{\small :}\)

\(\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}<a_{5}{\small . }\) 

При встрече двух команд выигрывает та, чей рейтинг выше.

Введём события:

• \(\displaystyle X_{2}\) –  команды \(\displaystyle A\) победила  в двух раундах;
• \(\displaystyle X_{3}\) – команда \(\displaystyle A\) победила  в трёх раундах.

Тогда \(\displaystyle P_{X_2}(X_3)\) – вероятность того, что команда \(\displaystyle A\) победила  в третьем раунде при условии, что команда \(\displaystyle A\) победила  в первых двух раундах.

Требуется найти \(\displaystyle P_{X_2}(X_3){\small .}\)

По формуле условной вероятности

\(\displaystyle P(X_3)=P(X_2)\cdot P_{X_2}(X_3){\small , }\)

откуда получаем:

\(\displaystyle P_{X_2}(X_3)= \frac{P(X_3)}{P(X_2)} {\small . }\)

Найдем \(\displaystyle P(X_{2}){\small .}\)

Из условия задачи следует, что сначала взяли две команды, которые начали играть между собой.

Одна из этих команд выиграла две встречи подряд.

Это команда \(\displaystyle A{\small .} \)

Команда \(\displaystyle A \) может иметь рейтинг от первого до пятого.

Значит, возможны следующие гипотезы:

• \(\displaystyle B_1\) – рейтинг команды \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle a_{1}{\small ;}\)
• \(\displaystyle B_2\) – рейтинг команды \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle a_{2}{\small ;}\)
• \(\displaystyle \ldots \)
• \(\displaystyle B_5\) – рейтинг команды \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle a_{5}{\small .}\)

Тогда по формуле полной вероятности 

\(\displaystyle P(X_2)=P(B_1) \cdot P_{B_1}(X_2) +P(B_2) \cdot P_{B_2}(X_2)+\ldots+P(B_5) \cdot P_{B_5}(X_2){\small .}\)

1.  Рейтинг команды выбирается случайным образом из пяти возможных вариантов. Поэтому

\(\displaystyle P(B_1)=P(B_2)= \ldots =P(B_5)= \frac {1}{5}{\small .}\)

2. Для победы команды \(\displaystyle A\) в двух раундах подряд необходимо, чтобы две проигравшие команды имели рейтинг ниже, чем у неё.

Значит, для команды с рейтингом ниже, чем \(\displaystyle a_{3}{\small , }\) вероятность выиграть три раунда равна нулю:

\(\displaystyle P_{B_1}(X_2)= P_{B_2}(X_2)=0{\small .}\)

3. Найдем \(\displaystyle P_{B_3}(X_2)\) – вероятность выиграть два раунда подряд для команды \(\displaystyle A \) с рейтингом \(\displaystyle a_3{\small .} \)

\(\displaystyle P_{B_3}(X_2)=P(\text{\scriptsize"выиграть в первом раунде"})\cdot P(\text{\scriptsize"победа во втором раунде"}){\small .}\)

Посчитаем вероятности в формуле, оформив вычисления в виде таблицы:

4. Найдем \(\displaystyle P_{B_4}(X_2)\) – вероятность выиграть два раунда подряд для команды \(\displaystyle A \) с рейтингом \(\displaystyle a_4{\small .} \)

    Рассуждая аналогично вычислениям для \(\displaystyle P_{B_4}(X_2){\small ,}\)  получаем:

Вновь оформим вычисления в виде таблицы:

5.  \(\displaystyle P_{B_5}(X_2)=1\) – вероятность выиграть два раунда подряд для команды \(\displaystyle A \) с рейтингом \(\displaystyle a_5{\small ,} \) так как эта команда имеет максимальный рейтинг.

Подставляя найденные значения в формулу полной вероятности 

\(\displaystyle P(X_2)=P(B_1) \cdot P_{X_2}(B_1) +P(B_2) \cdot P_{X_2}(B_2)+\ldots+P(B_5) \cdot P_{B_5}(X_2){\small ,}\)

получаем: 

\(\displaystyle \begin{aligned}P(X_2)&=\frac {1}{5} \cdot0+\frac {1}{5} \cdot0+\frac {1}{5} \cdot \frac{2}{12} +\frac {1}{5} \cdot \frac{6}{12} \ +\frac {1}{5} \cdot1 =\\[10px]&=\frac {1}{5} \cdot \left(\frac{2}{12} +\frac{6}{12}+1 \right) =\frac {20}{5\cdot 12}=\frac {1}{3}{\small .}\end{aligned}\)

Найдём \(\displaystyle P(X_{3})\) – вероятность победы команды \(\displaystyle A\) в трех раундах.

Сначала взяли две команды, которые начали играть между собой.

Одна из этих команд \(\displaystyle (A) \) выиграла три встречи подряд.

Команда \(\displaystyle A \) может иметь рейтинг от первого до пятого.

Значит, возможны следующие гипотезы:

• \(\displaystyle B_1\) – рейтинг команды \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle a_{1}{\small ;}\)
• \(\displaystyle B_2\) – рейтинг команды \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle a_{2}{\small ;}\)
• \(\displaystyle \ldots \)
• \(\displaystyle B_5\) – рейтинг команды \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle a_{5}{\small .}\)

Тогда по формуле полной вероятности 

\(\displaystyle P(X_3)=P(B_1) \cdot P_{B_1}(X_3) +P(B_2) \cdot P_{B_2}(X_3)+\ldots+P(B_5) \cdot P_{B_5}(X_3){\small .}\)

1.  Рейтинг команды выбирается случайным образом из пяти возможных вариантов. Поэтому

\(\displaystyle P(B_1)=P(B_2)= \ldots =P(B_5)= \frac {1}{5}{\small .}\)

2. Для победы команды \(\displaystyle A\) в четырёх раундах необходимо, чтобы три проигравшие команды имели рейтинг ниже, чем у неё.

Значит, для команды с рейтингом ниже, чем \(\displaystyle a_{4}{\small , }\) вероятность выиграть три раунда равна нулю:

\(\displaystyle P_{B_1}(X_3)= P_{B_2}(X_3)=P_{B_3}(X_3)=0{\small .}\)

3. Найдём \(\displaystyle P_{B_4}(X_3)\) – вероятность выиграть \(\displaystyle 3\) раунда подряд для команды с рейтингом \(\displaystyle a_{4}{\small .}\)

    Оформим вычисления в виде таблицы:

4. Найдём \(\displaystyle P_{B_5}(X_3)\) – вероятность выиграть \(\displaystyle 3\) раунда для команды с рейтингом \(\displaystyle a_{5}{\small .}\)

     Команда с рейтингом \(\displaystyle a_{5}\) является сильнейшей, поэтому выиграет \(\displaystyle 3\) игры с вероятностью \(\displaystyle 1{\small .}\)

Подставляя найденные вероятности в формулу 

\(\displaystyle P(X_3)=P(B_1) \cdot P_{B_1}(X_3) +P(B_3) \cdot P_{B_2}(X_3)+\ldots+P(B_5) \cdot P_{B_5}(X_3){\small ,}\)

получаем: 

\(\displaystyle \begin{aligned}P(X_3)&=\frac {1}{5} \cdot0+\frac {1}{5} \cdot0+\frac {1}{5} \cdot 0+\frac {1}{5} \cdot \frac{1}{4} \ +\frac {1}{5} \cdot1 =\\[10px]&=\frac {1}{5} \cdot \left(\frac{1}{4}+1 \right) =\frac {1}{4}{\small .}\end{aligned}\)

Подставляя найденные значения \(\displaystyle P(X_{2})\) и \(\displaystyle P(X_{3})\) в формулу

\(\displaystyle P_{X_2}(X_3)= \frac{P(X_3)}{P(X_2)} {\small , }\)

получаем:

\(\displaystyle P_{X_2}(X_3)= \frac{\phantom{1}\dfrac {1}{4}\phantom{1}}{\dfrac {1}{3}}=\frac {1}{4} \cdot \frac {3}{1}=\frac {3}{4} =0{,}75{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 0{,}75{\small .}\)