Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью \(\displaystyle 0{,}2\) при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее \(\displaystyle 0{,}84{\small ?}\)
\(\displaystyle 2^{19}=524\,288,\,2^{20}=1\,048\,576,\,2^{21}=2\,097\,152,\,2^{22}=4\,194\,304,\,2^{23}=8\,388\,608.\)
Заметим, что число потраченных патронов совпадает с числом произведённых выстрелов. Поэтому в дальнейшем будем говорить только про выстрелы.
Введём события:
- \(\displaystyle A \) – мишень поражена,
- \(\displaystyle X\) – попадание в одном выстреле,
- \(\displaystyle Y\) – промах в одном выстреле.
Событие \(\displaystyle A \) состоит из следующих несовместных событий:
- \(\displaystyle B_{1}\) – мишень поражена с одного выстрела,
- \(\displaystyle B_{2}\) – мишень поражена с двух выстрелов,
- \(\displaystyle B_{3}\) – мишень поражена с трёх выстрелов,
- ...
- \(\displaystyle B_{n}\) – мишень поражена с \(\displaystyle n\) выстрелов.
То есть
\(\displaystyle P(A)=P(B_{1})+P(B_{2})+P(B_{3})+...+P(B_{n}){\small . }\)
Значит, требуется найти такое значение \(\displaystyle n{\small , }\) при котором \(\displaystyle P(A) \geqslant0{,}84{\small . }\)
При каждом выстреле возможно одно из двух противоположных событий – \(\displaystyle X\) или \(\displaystyle Y\).
По условию \(\displaystyle P(X)=0{,}2{\small .}\) Вероятность противоположного события \(\displaystyle Y\) найдём как
\(\displaystyle P(Y)=1-P(X)=1-0{,}2=0{,}8{\small .}\)
Рассмотрим, за сколько выстрелов может быть поражена мишень:
Начнём строить граф возможных исходов. Выделим зелёным цветом благоприятное событие:
Значит,
\(\displaystyle P(B_{1})=P(X)=0{,}2{\small . }\)
Значит, в первом выстреле стрелок промахнулся, а во втором попал. Поэтому событие \(\displaystyle B_{2}\) состоит в одновременном наступлении события \(\displaystyle Y\) в первом выстреле и \(\displaystyle X\) – во втором. Продолжим строить граф возможных исходов:
Так как события независимы, получаем:
\(\displaystyle P(B_{2})=P(YX)=P(Y)\cdot P(X)=0{,}8\cdot0{,}2{\small . }\)
В итоге получаем:
Тогда вероятность наступления события \(\displaystyle А\) равна
\(\displaystyle \begin{aligned}P(A)&=P(B_{1})+P(B_{2})+P(B_{3})+...+P(B_{n})=\\&=0{,}2+0{,}8\cdot0{,}2+0{,}8^2\cdot0{,}2+0{,}8^3\cdot0{,}2+...+0{,}8^{n-1}\cdot 0{,}2=\\&=0{,}2\left(1+0{,}8+0{,}8^2+0{,}8^3+...+0{,}8^{n-1}\right){\small . }\end{aligned}\)
Заметим, что в скобках последнего выражения стоит сумма \(\displaystyle n\) членов геометрической прогрессии с первым членом \(\displaystyle b_{1}=1\) и знаменателем \(\displaystyle q=0{,}8{\small . }\)
Вычислим эту сумму.
Значит,
\(\displaystyle P(A)=0{,2}\cdot\frac{1-0{,}8^n}{0{,}2}=1-0{,}8^n\geqslant0{,}84{\small . }\)
Получили неравенство:
\(\displaystyle 1-0{,}8^n\geqslant0{,}84\)
или
\(\displaystyle 0{,}8^n\leqslant0{,}16{\small . }\)
Преобразуем полученное неравенство:
\(\displaystyle \begin{aligned}\left(\frac{8}{10}\right)^n\leqslant\frac{16}{100}{\small , }\\[10px]\left(\frac{2^3}{10}\right)^n\leqslant\frac{2^4}{100}{\small , }\\[10px]\frac{2^{3n}}{10^n}\leqslant\frac{2^4}{10^2}{\small , }\\[10px]2^{3n-4}\leqslant10^{n-2}{\small . }\end{aligned}\)
Решим последнее неравенство с помощью подбора натуральных значений \(\displaystyle n{\small : }\)
- \(\displaystyle n=1\) – не подходит:
\(\displaystyle 2^{3\cdot1-4}\leqslant10^{1-2}{\small , }\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}\leqslant \frac{1}{10} \) – неверно.
- \(\displaystyle n=2\) – не подходит:
\(\displaystyle 2^{3\cdot2-4}\leqslant10^{2-2}{\small , }\)
\(\displaystyle 2^2\leqslant10^0{\small , }\)
\(\displaystyle 4\leqslant1 \) – неверно.
- \(\displaystyle n=3\) – не подходит:
\(\displaystyle 2^{3\cdot3-4}\leqslant10^{3-2}{\small , }\)
\(\displaystyle 2^5\leqslant10^2{\small , }\)
\(\displaystyle 32 \leqslant10 \) – неверно.
- \(\displaystyle n=4\) – не подходит:
\(\displaystyle 2^{3\cdot4-4}\leqslant10^{4-2}{\small , }\)
\(\displaystyle 2^{8}\leqslant10^2{\small , }\)
\(\displaystyle 256 \leqslant100 \) – неверно.
- \(\displaystyle n=5\) – не подходит:
\(\displaystyle 2^{3\cdot5-4}\leqslant10^{5-2}{\small , }\)
\(\displaystyle 2^{11}\leqslant10^3{\small , }\)
\(\displaystyle 2048 \leqslant1000 \) – неверно.
- \(\displaystyle n=6\) – не подходит:
\(\displaystyle 2^{3\cdot6-4}\leqslant10^{6-2}{\small , }\)
\(\displaystyle 2^{14}\leqslant10^4{\small , }\)
\(\displaystyle 16384\leqslant10000 \) – неверно.
- \(\displaystyle n=7\) – не подходит:
\(\displaystyle 2^{3\cdot7-4}\leqslant10^{7-2}{\small , }\)
\(\displaystyle 2^{17}\leqslant10^5{\small , }\)
\(\displaystyle 131072 \leqslant100000 \) – неверно.
- \(\displaystyle n=8\) – не подходит:
\(\displaystyle 2^{3\cdot8-4}\leqslant10^{8-2}{\small , }\)
\(\displaystyle 2^{20}\leqslant10^6{\small , }\)
\(\displaystyle 1048576 \leqslant1 000 000 \) – неверно.
- \(\displaystyle n=9\) – подходит:
\(\displaystyle 2^{3\cdot 9-2}\leqslant10^{9-2}{\small , }\)
\(\displaystyle 2^{23}\leqslant10^7{\small , }\)
\(\displaystyle 8 388 608 \leqslant10 000 000 \) – верно.
Значит, стрелку хватит девяти выстрелов (и, соответственно, девяти патронов), чтобы поразить цель с вероятностью не менее \(\displaystyle 0{,}84{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 9{\small .}\)