Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Степень в степени

Задание

Найдите показатель степени для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b:\)

 

\(\displaystyle \left(a^{\,5}b^{\,8}\right)^{\,7} =a\)
\(\displaystyle \cdot \, b\)
Решение

Воспользуемся правилом "произведение в степени".

Правило

Cтепень произведения

Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b\)  и любого натурального числа \(\displaystyle n\) верно

\(\displaystyle (ab)^{\,n}=a^{\,n}b^{\,n}.\)

\(\displaystyle \left(a^{\,\color{blue}{5}}b^{\,\color{green}{8}}\right)^{\,\color{red}{7}}=\left(a^{\,\color{blue}{5}}\right)^{\,\color{red}{7}}\left(b^{\,\color{green}{8}}\right)^{\,\color{red}{7}}.\)

Далее к каждому множителю применим правило возведения степень в степень.

Правило

Cтепень в степени

Для любого числа \(\displaystyle a\) и любых натуральных чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется

\(\displaystyle \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}.\)

Тогда получаем:

\(\displaystyle \left(a^{\,\color{blue}{5}}\right)^{\,\color{red}{7}}\left(b^{\,\color{green}{8}}\right)^{\,\color{red}{7}}=a^{\, \color{blue}{5}\cdot \color{red}{7}}\cdot b^{\, \color{green}{8}\cdot \color{red}{7}}=a^{\,\bf 35}b^{\,\bf 56}.\)

Ответ: \(\displaystyle a^{\,35}b^{\,56}.\)