Найдите такой показатель степени, чтобы для положительного числа \(\displaystyle b,\) отличного от единицы, выполнялось равенство:
| \(\displaystyle \left(b^{\, 8}\right)^{11}=\left(b\right.\) |
\(\displaystyle \left.\right)^{8}\) |
Пусть \(\displaystyle t\) – неизвестный показатель степени. Тогда
\(\displaystyle \left(b^{\, 8}\right)^{11}=\left(b^{\,t}\right)^{\,8}.\)
Возведем левое выражение в степень \(\displaystyle 11:\)
\(\displaystyle \left(b^{\,\color{blue}{8}}\right)^{\, \color{red}{11}}=b^{\, \color{blue}{8} \cdot \color{red}{11}}.\)
Возведем правое выражение в степень \(\displaystyle 8:\)
\(\displaystyle \left( b^{\,\color{red}{t}} \right)^{\, \color{blue}{8}}=b^{\, \color{red}{t} \cdot \color{blue}{8}}.\)
Получаем:
\(\displaystyle b^{\, \color{blue}{8} \cdot \color{red}{11}}=b^{\, \color{red}{t} \cdot \color{blue}{8}}.\)
Далее воспользуемся правилом, которое было доказано в разделе "Теория".
\(\displaystyle {\bf a^{\,x}=a^{\,y}}\) для любого положительного, не равного единице числа \(\displaystyle a\), в том и только в том случае, когда \(\displaystyle {\bf x=y}.\)
В нашем случае мы принимаем \(\displaystyle a={\bf b}, \,\, x={\bf 8\cdot 11}\) и \(\displaystyle y={\bf t\cdot 8.}\)
Значит,
\(\displaystyle \color{blue}{8} \cdot \color{red}{11}=\color{red}{t} \cdot \color{blue}{8}.\)
Отсюда \(\displaystyle t=11.\)
Ответ: \(\displaystyle 11.\)