Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Степень в степени

Задание

Найдите такой показатель степени, чтобы для положительного числа \(\displaystyle b,\) отличного от единицы, выполнялось равенство:
 

\(\displaystyle \left(b^{\, 8}\right)^{11}=\left(b\right.\)
\(\displaystyle \left.\right)^{8}\)

 

Решение

Пусть \(\displaystyle t\) –  неизвестный показатель степени. Тогда

\(\displaystyle \left(b^{\, 8}\right)^{11}=\left(b^{\,t}\right)^{\,8}.\)

Возведем левое выражение в степень \(\displaystyle 11:\)

\(\displaystyle \left(b^{\,\color{blue}{8}}\right)^{\, \color{red}{11}}=b^{\, \color{blue}{8} \cdot \color{red}{11}}.\)

Возведем правое выражение в степень \(\displaystyle 8:\)

\(\displaystyle \left( b^{\,\color{red}{t}} \right)^{\, \color{blue}{8}}=b^{\, \color{red}{t} \cdot \color{blue}{8}}.\)

Получаем:

\(\displaystyle b^{\, \color{blue}{8} \cdot \color{red}{11}}=b^{\, \color{red}{t} \cdot \color{blue}{8}}.\)

Далее воспользуемся правилом, которое было доказано в разделе "Теория".

Правило

\(\displaystyle {\bf a^{\,x}=a^{\,y}}\) для любого положительного, не равного единице числа \(\displaystyle a\), в том и только в том случае, когда  \(\displaystyle {\bf x=y}.\)

В нашем случае мы принимаем \(\displaystyle a={\bf b}, \,\, x={\bf 8\cdot 11}\) и \(\displaystyle y={\bf t\cdot 8.}\)

Значит,

\(\displaystyle \color{blue}{8} \cdot \color{red}{11}=\color{red}{t} \cdot \color{blue}{8}.\)

Отсюда \(\displaystyle t=11.\)

Ответ: \(\displaystyle 11.\)