1. Дәрежелер көбейтіндісінің қасиеті:
Дәрежедегі дәреже
Кез-келген \(\displaystyle a\) саны мен кез-келген \(\displaystyle n,\,m\) натурал сандары үшін келесілер орындалады
\(\displaystyle {\bf \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}}.\)
2. Бірлік теңдігі:
Бірге тең емес кез-келген оң \(\displaystyle a\) саны үшін, тек \(\displaystyle {\bf x=0}\) болған жағдайда ғана \(\displaystyle {\bf a^{\,x}=1}\).
3. Дәрежелер теңдігі:
Бірге тең емес кез-келген оң \(\displaystyle a\) саны үшін, тек \(\displaystyle {\bf x=y}\) болған жағдайда ғана \(\displaystyle {\bf a^{\,x}=a^{\,y}}\).
1. Дәрежелер көбейтіндісінің қасиеті.
Дәрежені дәрежеге
Кез-келген \(\displaystyle a\) саны мен кез-келген \(\displaystyle n,\,m\) натурал сандары үшін келесілер орындалады
\(\displaystyle \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}.\)
Дәлел.
Аталған ережені (формуланы) дәлелдеу үшін санның дәрежесі анықтамасын қолданамыз:
\(\displaystyle \left(a^{\,n}\right)^{m}=\underbrace{a^{\,n}\ldots a^{\,n}}_{m\, раз}=a^{\,\underbrace{n+\ldots+n}_{m\, раз}}=a^{nm}.\)
2. Бірлік теңдігі.
Әрбір нөл емес және бірге тең емес \(\displaystyle a\) саны үшін, тек \(\displaystyle {\bf x=0}\) болған жағдайда ғана \(\displaystyle {\bf a^{\,x}=1}\).
Дәлел.
Алдымен кез-келген нөлдік емес сан \(\displaystyle a^{\,0}=1\) (анықтама бойынша) екенін ескеріңіз. Біз басқа мүмкіндіктердің жоқтығына көз жеткізгіміз келеді.
Бұл кез-келген \(\displaystyle a\) санына дұрыс болғандықтан, онда ол, мысалы, \(\displaystyle a=2\) үшін де дұрыс болады.
\(\displaystyle 2^{\, {\bf 0}}=1,\,\, 2^{\, {\bf 1}}=2,\,\, 2^{\, {\bf 2}}=4,\,\, 2^{\, {\bf 3}}=8,\,\, 2^{\, {\bf 4}}=16,\ldots\) екенін ескерейік
Берілген қатардан тек \(\displaystyle 2^{\,0}=1\) шығады, сондықтан жалғыз мүмкіндік \(\displaystyle x=0\) болады.
3. Дәрежелер теңдігі.
Кез-келген нөл емес және бірге тең емес \(\displaystyle a\) саны үшін, тек \(\displaystyle {\bf x=y}\) болған жағдайда ғана \(\displaystyle {\bf a^{\,x}=a^{\,y}}\).
Дәлел.
\(\displaystyle a^{\,x}=a^{\,y}\) теңдігінің екі бөлігін де нөлдік емес \(\displaystyle a^{\, y}\) өрнегіне бөлейік:
\(\displaystyle \frac{a^{\,x}}{a^{\,y}}=1,\)
\(\displaystyle a^{\,x-y}=1.\)
"Бірлік теңдігі" 2-ережесін қолдана отырып, төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle x-y=0.\)
Осылайша, \(\displaystyle x=y.\)