Қосындыны табыңыз:
\(\displaystyle 1+3+5+\ldots+21=\)
Қажетті қосындыны \(\displaystyle S{\small } \) арқылы белгілеңіз.
\(\displaystyle S=1+3+5+\ldots+21{ \small ,}\) қосындысын табу үшін сол қосындыны қайта жазамыз, бірақ керісінше:
\(\displaystyle S=21+\ldots+5+3+1{\small .}\)
Оларды қосамыз:
| \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle =\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle +\ldots+\) | \(\displaystyle 21\) |
| \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle =\) | \(\displaystyle 21\) | \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle 19\) | \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle 17\) | \(\displaystyle +\ldots+\) | \(\displaystyle 1\) | |
| \(\displaystyle 2\cdot S\) | \(\displaystyle =\) | \(\displaystyle 22\) | \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle 22\) | \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle 22\) | \(\displaystyle +\ldots+\) | \(\displaystyle 22\) |
Алынғанды жазамыз:
\(\displaystyle \begin{aligned} 2\cdot S&=\underbrace{(1+21)+(3+19)+(5+17)+\ldots+(21+1)}_{11\, рет}=\\&=\underbrace{22+22+22+\ldots+22}_{11\, рет}=(1+21)\cdot 11{\small ,}\end{aligned}\)
Осылайша келесіні алдық
\(\displaystyle S=\frac{(1+21)\cdot 11}{2}=121{\small .}\)
Яғни
\(\displaystyle \underbrace{\color{blue}{1}+3+5+\ldots+\color{green}{21}}_{Пррогрессияның\ 11\, мүшесі }=\frac{(\color{blue}{1}+\color{green}{21})\cdot 11}{2}=121{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle 121{\small .} \)
\(\displaystyle S=1+3+5+\ldots+21\) қосындыдағы элементтер санын келесідей санауға болады
\(\displaystyle 1{ \small ,}\,3{ \small ,}\,5{ \small ,}\,\ldots{ \small ,}\,21 \) элементтер арифметикалық прогрессияны құрайтынын байқаймыз.
Онда \(\displaystyle a_1=1{ \small ,} \) ал \(\displaystyle d \) бөлгіші
\(\displaystyle d=3-1=2 \)тең.
Онда бұл прогрессияның n-ші элементінің формуласы келесідей:
\(\displaystyle a_n= 1+2\cdot (n-1){\small ,}\)
\(\displaystyle a_n= 2n-1{\small .}\)
Прогрессияда \(\displaystyle 21 \) саны қай номірі бар екенін табамыз:
\(\displaystyle 21=2n-1{ \small ,} \)
\(\displaystyle 2n=22{ \small ,} \)
\(\displaystyle n=11{\small .} \)
Демек \(\displaystyle 1{ \small ,}\,3{ \small ,}\,5{ \small ,}\,\ldots{ \small ,}\,21 \) арифметикалық прогрессияда барлығы \(\displaystyle 11 \) элементтер бар.