Найдите сумму:
\(\displaystyle 1+3+5+\ldots+21=\)
Обозначим искомую сумму через \(\displaystyle S{\small .} \)
Для того чтобы найти сумму \(\displaystyle S=1+3+5+\ldots+21{ \small ,}\) перепишем эту же сумму, но в обратном порядке:
\(\displaystyle S=21+\ldots+5+3+1{\small .}\)
Сложим их:
| \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle =\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle +\ldots+\) | \(\displaystyle 21\) |
| \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle =\) | \(\displaystyle 21\) | \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle 19\) | \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle 17\) | \(\displaystyle +\ldots+\) | \(\displaystyle 1\) | |
| \(\displaystyle 2\cdot S\) | \(\displaystyle =\) | \(\displaystyle 22\) | \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle 22\) | \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle 22\) | \(\displaystyle +\ldots+\) | \(\displaystyle 22\) |
Перепишем получившееся:
\(\displaystyle \begin{aligned} 2\cdot S&=\underbrace{(1+21)+(3+19)+(5+17)+\ldots+(21+1)}_{11\, раз}=\\&=\underbrace{22+22+22+\ldots+22}_{11\, раз}=(1+21)\cdot 11{\small ,}\end{aligned}\)
Таким образом, получили, что
\(\displaystyle S=\frac{(1+21)\cdot 11}{2}=121{\small .}\)
То есть
\(\displaystyle \underbrace{\color{blue}{1}+3+5+\ldots+\color{green}{21}}_{11\, членов\, прогрессии}=\frac{(\color{blue}{1}+\color{green}{21})\cdot 11}{2}=121{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 121{\small .} \)
Число элементов в сумме \(\displaystyle S=1+3+5+\ldots+21\) можно посчитать следующим образом.
Заметим, что элементы \(\displaystyle 1{ \small ,}\,3{ \small ,}\,5{ \small ,}\,\ldots{ \small ,}\,21 \) образуют арифметическую прогрессию.
В ней \(\displaystyle a_1=1{ \small ,} \) а знаменатель \(\displaystyle d \) равен
\(\displaystyle d=3-1=2{\small .} \)
Тогда формула n-го элемента для этой прогрессии выглядит следующим образом:
\(\displaystyle a_n= 1+2\cdot (n-1){\small ,}\)
\(\displaystyle a_n= 2n-1{\small .}\)
Найдем, какой номер число \(\displaystyle 21 \) имеет в прогрессии:
\(\displaystyle 21=2n-1{ \small ,} \)
\(\displaystyle 2n=22{ \small ,} \)
\(\displaystyle n=11{\small .} \)
Значит, всего в арифметической прогрессии \(\displaystyle 1{ \small ,}\,3{ \small ,}\,5{ \small ,}\,\ldots{ \small ,}\,21 \) имеется \(\displaystyle 11 \) элементов.