Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 05 Сумма членов арифметической прогрессии

Задание

Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии \(\displaystyle S_{12}{ \small ,}\) если \(\displaystyle S_5 = 15{ \small ,}\) \(\displaystyle S_7 = 35{\small .}\)

\(\displaystyle S_{12}=\)
120
Решение

Запишем \(\displaystyle S_5 \) и \(\displaystyle S_7 \) через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{\small .} \)

По формуле для суммы

Правило

Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии

Сумма \(\displaystyle S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n \) первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии равна

\(\displaystyle S_n= \frac{ a_1+a_n}{ 2 }\cdot n \)

Или, записывая через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \)

\(\displaystyle S_n= \frac{ 2a_1+d(n-1)}{ 2 }\cdot n \)

получаем для \(\displaystyle S_5{\small : } \)

\(\displaystyle S_5= \frac{ 2a_1+d(5-1)}{ 2 }\cdot 5{ \small ,}\)

\(\displaystyle S_5= \frac{ 2a_1+4d}{ 2 }\cdot 5{ \small ,}\)

\(\displaystyle S_5=(a_1+2d)\cdot 5{ \small .} \)

Аналогично получаем для \(\displaystyle S_7{\small : } \)

\(\displaystyle S_7= \frac{ 2a_1+d(7-1)}{ 2 }\cdot 7{ \small ,}\)

\(\displaystyle S_7= \frac{ 2a_1+6d}{ 2 }\cdot 7{ \small ,}\)

\(\displaystyle S_7=(a_1+3d)\cdot 7{ \small .} \)

 

Тогда, так как по условию \(\displaystyle S_5=15 \) и \(\displaystyle S_7=35{ \small ,} \) получаем систему:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} (a_1+2d)\cdot 5&=15{ \small ,}\\ (a_1+3d)\cdot 7&=35{\small .}\end{aligned}\right.\)

Упростим систему, разделив обе части первого уравнения на \(\displaystyle 5{\small , } \) а второго – на \(\displaystyle 7{\small : } \)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} (a_1+2d)\cdot 5&=15\,|:\color{red}{ 5}\,{ \small ,}\\ (a_1+3d)\cdot 7&=35\,|:\color{red}{ 7}{\small .}\end{aligned}\right.\)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} a_1+2d&=3{ \small ,}\\ a_1+3d&=5{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим ее методом подстановки.

Выразим из первого уравнения \(\displaystyle a_1{\small : } \)

\(\displaystyle a_1=3-2d{\small .} \)

Подставляя во второе уравнение, получаем:

\(\displaystyle (3-2d)+3d=5{ \small ,}\)

\(\displaystyle 3-2d+3d=5{ \small ,}\)

\(\displaystyle -2d+3d=5-3{ \small ,}\)

\(\displaystyle d =2{\small .}\)

Так как \(\displaystyle a_1=3-2d{ \small ,}\) то

\(\displaystyle a_1=3-2\cdot 2{\small ,} \)

\(\displaystyle a_1=-1{\small .} \)

Теперь, зная, что \(\displaystyle a_1=-1\) и \(\displaystyle d=2{ \small ,} \) найдем \(\displaystyle S_{12}{\small : } \)

\(\displaystyle S_{12}= \frac{ 2a_1+d(12-1)}{ 2 }\cdot 12{ \small ,}\)

\(\displaystyle S_{12}= \frac{ 2a_1+11d}{ 2 }\cdot 12{ \small ,}\)

\(\displaystyle S_{12}= (2a_1+11d)\cdot 6{ \small ,}\)

\(\displaystyle S_{12}=(2\cdot (-1)+11\cdot 2)\cdot 6{ \small ,} \)

\(\displaystyle S_{12}=120{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle 120{\small .} \)