Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теориясы: 05 Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысы

Тапсырма

Қосындыны табыңыз:

\(\displaystyle 1+3+5+\ldots+21=\)

Шешім

Қажетті қосындыны \(\displaystyle S{\small } \) арқылы белгілеңіз.

 \(\displaystyle S=1+3+5+\ldots+21{ \small ,}\) қосындысын табу үшін сол қосындыны қайта жазамыз, бірақ керісінше:

\(\displaystyle S=21+\ldots+5+3+1{\small .}\)

Оларды қосамыз:

\(\displaystyle +\)\(\displaystyle S\)\(\displaystyle =\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle +\)\(\displaystyle 3\)\(\displaystyle +\)\(\displaystyle 5\)\(\displaystyle +\ldots+\)\(\displaystyle 21\)
\(\displaystyle S\)\(\displaystyle =\)\(\displaystyle 21\)\(\displaystyle +\)\(\displaystyle 19\)\(\displaystyle +\)\(\displaystyle 17\)\(\displaystyle +\ldots+\)\(\displaystyle 1\)
 \(\displaystyle 2\cdot S\)\(\displaystyle =\)\(\displaystyle 22\)\(\displaystyle +\)\(\displaystyle 22\)\(\displaystyle +\)\(\displaystyle 22\)\(\displaystyle +\ldots+\)\(\displaystyle 22\)

Алынғанды жазамыз:

\(\displaystyle \begin{aligned} 2\cdot S&=\underbrace{(1+21)+(3+19)+(5+17)+\ldots+(21+1)}_{11\, рет}=\\&=\underbrace{22+22+22+\ldots+22}_{11\, рет}=(1+21)\cdot 11{\small ,}\end{aligned}\)

Осылайша келесіні алдық

\(\displaystyle S=\frac{(1+21)\cdot 11}{2}=121{\small .}\)

Яғни

\(\displaystyle \underbrace{\color{blue}{1}+3+5+\ldots+\color{green}{21}}_{Пррогрессияның\ 11\, мүшесі }=\frac{(\color{blue}{1}+\color{green}{21})\cdot 11}{2}=121{\small .}\)

Жауабы: \(\displaystyle 121{\small .} \)


Замечание / комментарий

 \(\displaystyle S=1+3+5+\ldots+21\) қосындыдағы элементтер санын келесідей санауға болады

 \(\displaystyle 1{ \small ,}\,3{ \small ,}\,5{ \small ,}\,\ldots{ \small ,}\,21 \) элементтер арифметикалық прогрессияны құрайтынын байқаймыз.

Онда \(\displaystyle a_1=1{ \small ,} \) ал \(\displaystyle d \) бөлгіші  

\(\displaystyle d=3-1=2 \)тең.

Онда бұл прогрессияның n-ші элементінің формуласы келесідей:

\(\displaystyle a_n= 1+2\cdot (n-1){\small ,}\)

\(\displaystyle a_n= 2n-1{\small .}\)

Прогрессияда \(\displaystyle 21 \) саны қай номірі бар екенін табамыз:

\(\displaystyle 21=2n-1{ \small ,} \)

\(\displaystyle 2n=22{ \small ,} \)

\(\displaystyle n=11{\small .} \)

Демек  \(\displaystyle 1{ \small ,}\,3{ \small ,}\,5{ \small ,}\,\ldots{ \small ,}\,21 \) арифметикалық прогрессияда барлығы \(\displaystyle 11 \) элементтер бар.