Известно, что в геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_5 = 12{ \small ,}\, b_7 = 48{\small .}\)
Найти знаменатель прогрессии \(\displaystyle q{\small .}\) Если вариантов несколько – запишите в ответ произведение найденных чисел.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_\color{red}{ n}=b_1\cdot q^{\color{red}{ n}-1}{ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
и запишем \(\displaystyle b_5 \) и \(\displaystyle b_7{\small : } \)
\(\displaystyle b_5 = b_1 \cdot q^4\) и \(\displaystyle b_7 = b_1 \cdot q^6{\small .}\)
Так как \(\displaystyle b_5=12\) и \(\displaystyle b_7=48{ \small ,} \) то получаем систему:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}b_1 \cdot q^4&= 12{ \small ,}\\b_1 \cdot q^6&=48{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим эту систему методом подстановки.
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle b_1{\small : } \)
\(\displaystyle b_1 \cdot q^4= 12{ \small ,} \)
\(\displaystyle b_1 = \frac{ 12}{ q^4 }{ \small .} \)
Подставляя во второе уравнение системы, получаем:
\(\displaystyle b_1 \cdot q^6=48{ \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{ 12}{ q^4 }\cdot q^6=48{ \small ,} \)
\(\displaystyle 12q^2=48{ \small ,} \)
\(\displaystyle q^2=4{ \small ,} \)
\(\displaystyle q=2 \) или \(\displaystyle q=-2{\small .} \)
В ответ запишем произведение найденных решений:
\(\displaystyle 2\cdot (-2)=-4{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle -4{\small .}\)