Известно, что в геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_3 = 1{ \small ,}\, b_6 = \frac{1}{8}{\small .}\)
Найдите второй член данной прогрессии \(\displaystyle b_2{\small .}\)
Воспользуемся формулой для n-го члена геометрической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_\color{red}{ n}=b_1\cdot q^{\color{red}{ n}-1}{ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
и запишем \(\displaystyle b_3 \) и \(\displaystyle b_6{\small : } \)
\(\displaystyle b_3 = b_1 \cdot q^2\) и \(\displaystyle b_6 = b_1 \cdot q^5{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_3=1\) и \(\displaystyle b_6= \frac{ 1}{ 8 }{ \small ,} \) то, подставляя, получаем систему линейных уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} b_1 \cdot q^2&=1{ \small ,}\\b_1 \cdot q^5&= \frac{ 1}{ 8 }{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим ее методом подстановки.
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle b_1{\small : } \)
\(\displaystyle b_1=\frac{ 1}{ q^2 }{\small .} \)
Подставляя во второе уравнение, получаем:
\(\displaystyle \frac{ 1}{ q^2 } \cdot q^5= \frac{ 1}{ 8 }{ \small ,}\)
\(\displaystyle q^3= \frac{ 1}{ 8 }{ \small ,}\)
\(\displaystyle q^3= \frac{ 1}{ 2^3}{ \small ,}\)
\(\displaystyle q^3= \left(\frac{ 1}{ 2 }\right)^3{ \small ,}\)
\(\displaystyle q= \frac{ 1}{2 }{\small .}\)
Так как \(\displaystyle b_1=\frac{ 1}{ q^2 }{ \small ,}\) то
\(\displaystyle b_1=\frac{ \phantom{11}1\phantom{11}}{ \left( \frac{ 1}{ 2}\right)^2 }{\small ,} \)
\(\displaystyle b_1=4{\small .} \)
Теперь, зная \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{ \small ,} \) найдем \(\displaystyle b_2{\small : } \)
\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q{ \small ,} \)
\(\displaystyle b_2=4\cdot \frac{ 1}{ 2 }{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_2=2{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 2{\small .}\)