Геометриялық прогрессияда
\(\displaystyle b_{10} = 3{ \small ,}\, b_{20} = 15\) екені белгілі.
Осы прогрессияның отызыншы мүшесі \(\displaystyle b_{30}\)-ді табыңыз.
Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы бойынша
\(\displaystyle b_\color{red}{ n}=b_1\cdot q^{\color{red}{ n}-1}{ \small ,} \) мұнда \(\displaystyle \color{red}{n}\)– прогрессияның элемент нөмірі.Геометриялық прогрессияның \(\displaystyle n \)-ші мүшесінің формуласы
\(\displaystyle b_{10} \) және \(\displaystyle b_{20}\) жазып аламыз:
\(\displaystyle b_{10} = b_1 \cdot q^{9}\) және \(\displaystyle b_{20} = b_1 \cdot q^{19}{\small .}\)
\(\displaystyle b_{10}=3\) және \(\displaystyle b_{20}= 15\) болғандықтан, орнына қою арқылы, сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} b_1 \cdot q^{9}&=3{ \small ,}\\b_1 \cdot q^{19}&= 15{\small .}\end{aligned}\right.\)
Оны орнына қою әдісі арқылы шешеміз.
Бірінші теңдеуден \(\displaystyle b_1\)-ді өрнектейік:
\(\displaystyle b_1=\frac{ 3}{ q^{9} }{\small .} \)
Екінші теңдеуге қою арқылы, келесіні аламыз:
\(\displaystyle \frac{ 3}{ q^{9} } \cdot q^{19}= 15{ \small ,}\)
\(\displaystyle q^{10}= 5{ \small ,}\)
\(\displaystyle q=\sqrt[10]{5}\) немесе \(\displaystyle q=-\sqrt[10]{5}{\small .}\)
Алынған \(\displaystyle q{\small } \) нұсқалар үшін\(\displaystyle b_{30} \) мәнін есептейік:
\(\displaystyle b_1=\frac{ 3}{ q^{9} }\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle b_1=\frac{ 3}{ (\sqrt[10]{5})^{9} }{\small .} \)
\(\displaystyle b_1 \) және \(\displaystyle q \) біле тұра \(\displaystyle b_{30}\) табамыз:
\(\displaystyle b_{30}=b_1\cdot q^{29}{ \small ,} \)
\(\displaystyle b_{30}=\frac{ 3}{ (\sqrt[10]{5})^{9} }\cdot (\sqrt[10]{5})^{29}{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_{30}=\frac{ 3\cdot (\sqrt[10]{5})^{29}}{ (\sqrt[10]{5})^{9} }{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_{30}=3\cdot (\sqrt[10]{5})^{29-9}{\small ,} \)
\(\displaystyle b_{30}=3\cdot (\sqrt[10]{5})^{20}{\small ,} \)
\(\displaystyle b_{30}=3\cdot ((\sqrt[10]{5})^{10})^2{\small ,} \)
\(\displaystyle b_{30}=3\cdot 5^2{\small ,} \)
\(\displaystyle b_{30}=75{\small .} \)
\(\displaystyle b_1=\frac{ 3}{ q^{9} }\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle b_1=\frac{ 3}{ (-\sqrt[10]{5})^{9} }{\small .} \)
\(\displaystyle b_1 \) және \(\displaystyle q\) біле тұра \(\displaystyle b_{30}\) табамыз:
\(\displaystyle b_{30}=b_1\cdot q^{29}{ \small ,} \)
\(\displaystyle b_{30}=\frac{ 3}{ (-\sqrt[10]{5})^{9} }\cdot (-\sqrt[10]{5})^{29}{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_{30}=\frac{ 3\cdot (-\sqrt[10]{5})^{29}}{ (-\sqrt[10]{5})^{9} }{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_{30}=3\cdot (-\sqrt[10]{5})^{29-9}{\small ,} \)
\(\displaystyle b_{30}=3\cdot (-\sqrt[10]{5})^{20}{\small ,} \)
\(\displaystyle b_{30}=3\cdot ((-\sqrt[10]{5})^{10})^2{\small ,} \)
\(\displaystyle b_{30}=3\cdot 5^2{\small ,} \)
\(\displaystyle b_{30}=75{\small .} \)
Осылайша, екі жағдайда да жауап бірдей болады – \(\displaystyle b_{30}=75{\small .} \)
Жауабы: \(\displaystyle 75{\small .}\)
Бұл есепті басқа, қысқа жолмен шешуге болады.
\(\displaystyle b_{20}=b_{10}\cdot q^{10} \) екенің ескеріңіз , мұнда
\(\displaystyle q^{10}=\frac{ b_{20}}{ b_{10} }=\frac{ 15}{ 3}=5{\small .} \)
\(\displaystyle b_{30}=b_{20}\cdot q^{10} \) және \(\displaystyle b_{20}=15. \) болғандықтан, онда келесіні аламыз:
\(\displaystyle b_{30}=b_{20}\cdot q^{10}{\small ,} \)
\(\displaystyle b_{30}=15\cdot 5=75{\small .} \)