Digital Matematika - 8 сынып - Теңсіздіктер жүйесіне биквадрат теңсіздіктің эквиваленттілігі

Тапсырма

\(\displaystyle t=x^2\) Квадраттық теңсіздіктерге тең квадраттық теңсіздіктер жүйесін жазыңыз:

\(\displaystyle x^4-15x^2+26>0{\small.}\)

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)	\(\displaystyle t\),
	\(\displaystyle t\)

немесе

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)	\(\displaystyle t\),
	\(\displaystyle t\).

Алынған теңсіздіктер жүйесін шешіңіз:

\(\displaystyle t\) немесе\(\displaystyle t\).

Шешім

\(\displaystyle x^4-15x^2+26{\small } \) биквадраттық үшмүшеде \(\displaystyle (x^2)^2\) ретінде \(\displaystyle x^4\) көрсетеміз

\(\displaystyle x^4-15x^2+26= (\color{blue}{ x^2})^2-15\color{blue}{ x^2}+26{\small .} \)

\(\displaystyle t=\color{blue}{ x^2}{ \small } \) ауыстырамыз. Біз екінші дәрежелі көпмүшені аламыз:

\(\displaystyle t^2-15t+26{\small .} \)

Біз оның түбірлерін тауып, оны көбейткішке жіктейміз.

\(\displaystyle t^2-15t+26=(t-13)(t-2) \)

Коэффициенттерді бөліп аламыз:

\(\displaystyle t^2-15t+26=\color{red}{ 1}\cdot t^2\color{green}{ -15}t+\color{blue}{ 26}{\small .}\)

Онда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -15}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 26}{\small .} \)

Квадарттық теңдеуді шешеміз:

\(\displaystyle t^2-15t+26=0{ \small .} \)

Дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{-15})^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot \color{blue}{ 26}=225-104=121\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 121}=11{\small .} \)

Теңдеудің түбірі:

\(\displaystyle t_1= \frac{-(-15)+11}{2}=\frac{26}{2}=13{ \small ,}\)

\(\displaystyle t_2= \frac{-(-15)-11}{2}=\frac{4}{2}=2{\small .}\)

Енді ережені пайдаланып үшмүшені көбейткіштерге бөлейік.

Правило

Көбейткіштерге жіктеу

\(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=\color{red}{ a}(t-t_1)(t-t_2){ \small ,}\)

мұнда \(\displaystyle t_1 \) және \(\displaystyle t_2 \) – квадраттық теңдеу түбірі \(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=0{\small .}\)

Біздің жағдайда үлкен коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) ал түбір, \(\displaystyle 13\) және \(\displaystyle 2{\small } \) тең.

Демек,

\(\displaystyle t^2-15t+26=\color{red}{ 1}\cdot (t-13)(t-2)=(t-13)(t-2) {\small .}\)

\(\displaystyle (t-13)(t-2)>0 \) теңсіздіктерді эквивалентті теңсіздіктер жүйесі ретінде жазайық.

Барлық теңсіздік шешімдері \(\displaystyle (t-13)(t-2)>0\) шығады, егер

немесе \(\displaystyle t-13>0{ \small ,}\, t-2>0\) – екі көбейткіш те оң;
немесе \(\displaystyle t-13<0{ \small ,}\, t-2<0\) – екі көбейткіш те теріс.

Егер бұл жүйелер түрінде қайта жазылса, онда:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t-13&>0{ \small ,}\\t-2&>0\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t-13&< 0{ \small ,}\\t-2& <0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Сызықтық теңсіздіктерді түрлендіру арқылы аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&>13{ \small ,}\\t&>2\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&< 13{ \small ,}\\t& < 2{\small .}\end{aligned}\right.\)

Алынған жүйелерді шешейік.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} t&> 13{ \small ,}\\ t&>2 \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle t>13\) теңсіздік түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді: