Запишите системы квадратичных неравенств, эквивалентных биквадратному неравенству:
\(\displaystyle (x^2-4)(x^2+8)\ge 0{\small.}\)
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle x^2\), |
\(\displaystyle x^2\) |
или
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle x^2\), |
\(\displaystyle x^2\). |
Запишем неравенство \(\displaystyle (x^2-4)(x^2+8)\ge 0 \) в виде системы эквивалентных линейных неравенств.
Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b \ge 0\) в том случае, когда
- либо \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\, b\ge 0\) – оба числа неотрицательны,
- либо \(\displaystyle a\le 0{ \small ,}\, b\le 0\) – оба числа неположительны.
Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x^2-4)(x^2+8)\ge 0\) получаются, когда
- либо \(\displaystyle x^2-4\ge 0{ \small ,}\, x^2+8\ge 0\) – оба выражения неотрицательны,
- либо \(\displaystyle x^2-4\le 0{ \small ,}\, x^2+8\le 0\) – оба выражения неположительны.
Если это переписать в виде систем, то получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-4&\ge 0{ \small ,}\\x^2+8 &\ge 0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-4&\le 0{ \small ,}\\x^2+8& \le 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенося все числа вправо, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2&\ge 4{ \small ,}\\x^2&\ge -8\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2&\le 4{ \small ,}\\x^2& \le -8{\small .}\end{aligned}\right.\)