Бөлгіштің түбірлерін табайық. Ол үшін \(\displaystyle x^2-3x+2=0\) квадрат теңдеуді шешеміз

Табылған түбірлерді сандар сызығында белгілейміз, оларды тесіп аламыз (теңсіздік белгісі қатаң болғандықтан):

Бізде үш аралық бар:

\(\displaystyle (-\infty;1),\) \(\displaystyle (1;2)\) және \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)

Әрбір аралық бойынша \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}\) функциясының таңбасын анықтайық.

Белгілерді табу кезінде есептеулерді жеңілдету үшін біз бөлшектің бөлгішін табылған түбірлерді пайдаланып көбейткіштерге бөлеміз.

Яғни

\(\displaystyle x^2-3x+2=(x-1)(x-2){\small .}\)

Бастапқы теңсіздікті пішінде қайта жазайық

\(\displaystyle \frac{ 1}{ (x-1)(x-2) }\geqslant 0{\small .} \)

Әрбір аралық бойынша \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{ (x-1)(x-2) }\) функциясының таңбасын анықтайық.

• \(\displaystyle (-\infty;1){\small }\) аралық үшін \(\displaystyle x=0 \) \(\displaystyle f(0)=\frac{1}{ (0-1)(0-2) }>0{\small .}\) Аралықта \(\displaystyle (-\infty;1){\small }\)
  қосу таңбасын жазамыз
             
• \(\displaystyle (1;2){\small }\) аралық үшін \(\displaystyle x=1,5 \) \(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{1}{ (1{,}5-1)(1{,}5-2) }<0{\small .}\) Аралықта \(\displaystyle (1;2){\small }\)
  азайту таңбасын жазамыз
             

• \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)аралық үшін (x=4 : ) \(\displaystyle f(4)=\frac{1}{ (4-1)(4-2) }>0{\small .}\) Аралықта \(\displaystyle (2;+\infty){\small }\)  қосу таңбасын жазамыз

Нәтижесінде біз аламыз:

  \(\displaystyle \frac{1}{ (x-1)(x-2) }< 0\) теңсіздігінің шешімдері функциясы теріс болатын аралықтарға сәйкес келетіндіктен,

\(\displaystyle (1;2)\) – қалаған шешім.

Жауабы: \(\displaystyle x \in (1;2){\small .}\)