Алым \(\displaystyle x-1 \) мен бөлгіштің \(\displaystyle x-2{\small } \) түбірлерін табыңыз.

\(\displaystyle x-1=0 \) немесе \(\displaystyle x-2=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=1 \) немесе \(\displaystyle x=2{\small .} \)

Теңсіздік таңбасы қатаң, сондықтан сан түзуіндегі алым мен бөлгіштің сәйкес түбірлерінің нүктелері түсірілген түрде бейнеленген:

Бізде үш аралық бар:

\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2)\) және \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)

Әрбір аралық бойынша \(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-2}\) функциясының таңбасын анықтайық.

 

•  \(\displaystyle (-\infty;1)\) аралық үшін \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(0)=\frac{0-1}{0-2}>0{\small}\)
  аралықта  \(\displaystyle (-\infty;1){\small}\) қосу таңбасын жазамыз.
   
•  \(\displaystyle (1;2)\) аралық үшін \(\displaystyle x=1{,}5{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{1{,}5-1}{2{,}5-2}<0{\small }\)
  аралықта \(\displaystyle (1;2){\small }\) азайту таңбасын жазамыз.
   
•  \(\displaystyle (2;+\infty)\) аралық үшін \(\displaystyle x=3{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(3)=\frac{3-2}{3-2}>0{\small }\)

  аралықта \(\displaystyle (2;+\infty){\small }\) қосу таңбасын жазамыз.

Нәтижесінде біз аламыз:

  \(\displaystyle \frac{ x-1}{ x-2 }> 0\) теңсіздігінің шешімдері функция оң болатын аралықтарға сәйкес болғандықтан, онда

\(\displaystyle (-\infty;1) \cup(2;+\infty)\) – қажетті шешім.

Жауабы: \(\displaystyle x \in (-\infty;1) \cup(2;+\infty){\small .}\)