Уравнение \(\displaystyle \frac{1}{\sin^2(x)}+\frac{1}{\sin(x)}-2=0\) равносильно двум уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=1\) или \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=1\) имеет решение:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
Выберите корни уравнения \(\displaystyle \sin(x)=1\) из промежутка \(\displaystyle \left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right]{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{5\pi}{2}\)
Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right]{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\leqslant x_1\leqslant 3\pi{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{2}+2\pi n\leqslant 3\pi{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{3}{2}\leqslant \frac{1}{2}+2n\leqslant 3{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{3}{2}- \frac{1}{2}\leqslant 2n\leqslant 3-\frac{1}{2} {\small ,}\)
\(\displaystyle 1\leqslant2n\leqslant \frac{5}{2}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}\leqslant n \leqslant \frac{5}{4}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle 1,\) то есть \(\displaystyle n=1{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=1\) в \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 1=\frac{5\pi}{2}{\small .}\)
Таким образом, уравнение \(\displaystyle \sin(x)=1\) на отрезке \(\displaystyle \left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right]\) имеет одно решение \(\displaystyle \frac{5\pi}{2}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{5\pi}{2}{\small .}\)