\(\displaystyle \frac{1}{\sin^2(x)}+\frac{1}{\sin(x)}-2=0\) теңдеуі:
\(\displaystyle \sin(x)=1\) немесе \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}{\small}\) екі теңдеуге сәйкес келеді.
\(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}\) теңдеуінің шешімі:
\(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\) және \(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
\(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}\) аралықтан \(\displaystyle \left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right]{\small}\) теңдеудің түбірлерін таңдаңыз:
\(\displaystyle x_1=\frac{11\pi}{6}\)
\(\displaystyle \left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right]{\small}\) кесіндіден түбірлерді таңдаймыз.
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\leqslant x_1\leqslant3\pi{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\leqslant\frac{7\pi}{6}+2\pi n\leqslant3\pi{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle \frac{3}{2}\leqslant \frac{7}{6}+2n\leqslant 3{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{7}{6}{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle \frac{3}{2}- \frac{7}{6}\leqslant 2n\leqslant 3- \frac{7}{6}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{1}{3}\leqslant2n \leqslant \frac{11}{6}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small}\) бөлеміз:
\(\displaystyle \frac{1}{6}\leqslant n \leqslant \frac{11}{12}{ \small .}\)
Бұл аралықта бүтін сандар ЖОҚ.
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\leqslant x_2\leqslant 3\pi{\small.}\)
Яғни
\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\leqslant\frac{11\pi}{6}+2\pi n\leqslant 3\pi{\small.}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle \frac{3}{2}\leqslant \frac{11}{6}+2n\leqslant 3{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{11}{6}{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle \frac{3}{2}- \frac{11}{6}\leqslant 2n\leqslant 3- \frac{11}{6}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{1}{3}\leqslant2n \leqslant \frac{7}{6}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерд\(\displaystyle 2{\small }\) бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{1}{6}\leqslant n \leqslant \frac{7}{12}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle 0{\small,}\) яғни \(\displaystyle n=0{\small .}\)
\(\displaystyle n=0\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle \frac{11\pi}{6}+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle \frac{11\pi}{6}+2\pi \cdot 0=\frac{11\pi}{6}{\small .}\)
Осылайша, \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1 }{2}\) аралықтағы \(\displaystyle \left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right]\) теңдеуінің \(\displaystyle \frac{11\pi}{6}{\small}\) бір шешімі бар.
Жауабы: \(\displaystyle \frac{11\pi}{6}{\small .}\)