\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin(2x)+\sin(x)=0\) теңдеуі,
\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small}\) екі теңдеуге тең.
\(\displaystyle \sin(x)=0\) теңдеуінің шешімдері:
\(\displaystyle x_1=2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \) және \(\displaystyle x_2=\pi+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
\(\displaystyle \sin(x)=0\) теңдеуінің түбірлерін \(\displaystyle \left[-4\pi;\, -\frac{5\pi}{2}\right]{\small}\) аралықтан тандаңыз:
\(\displaystyle x_1=-4\pi\)
\(\displaystyle x_2=-3\pi\)
\(\displaystyle \left[-4\pi;\, -\frac{5\pi}{2}\right]{\small}\) кесіндіден түбірлерді таңдаймыз.
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -4\pi\leqslant x_1 \leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -4\pi\leqslant 2\pi n\leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small }\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle -4\leqslant 2n\leqslant -\frac{5}{2}{\small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small}\) бөлеміз:
\(\displaystyle -2\leqslant n \leqslant -\frac{5}{4}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle -2{\small,}\) яғни \(\displaystyle n=-2{\small .}\)
\(\displaystyle n=-2\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle 2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle 2\pi \cdot (-2)=-4\pi{\small .}\)
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -4\pi\leqslant x_2 \leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -4\pi\leqslant \pi+2\pi n\leqslant- \frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle -4\leqslant 1+2n\leqslant -\frac{5}{2}{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle 1{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle -4-1\leqslant 1+2n- 1\leqslant -\frac{5}{2}-1{ \small ,}\)
\(\displaystyle -5\leqslant 2n \leqslant -\frac{7}{2}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\) бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant n \leqslant -\frac{7}{4}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle -2{\small,}\) яғни \(\displaystyle n=-2{\small .}\)
\(\displaystyle n=-2\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle \pi+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle \pi+2\pi \cdot (-2)=-3\pi{\small .}\)
Осылайша, \(\displaystyle \sin(x)=0\) теңдеуі \(\displaystyle \left[-4\pi;\, -\frac{5\pi}{2}\right]\) кесіндісінде \(\displaystyle -4\pi\) және \(\displaystyle -3\pi{\small}\) шешімдері бар.
Жауабы: \(\displaystyle -4\pi\) және \(\displaystyle -3\pi{\small .}\)