Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 11 Уравнение \(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin(2x)+\sin(x)=0\)

Задание

Уравнение

\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin(2x)+\sin(x)=0{\small.}\)

Равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям:

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)

Решение

Приведем все тригонометрические функции к одному аргументу – \(\displaystyle x{\small.}\)

Для этого воспользуемся формулой синус двойного угла:

\(\displaystyle \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x){\small.}\)

Получаем:

\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\color{blue}{\sin(2x)}+\sin(x)=0{\small,}\)

\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\cdot\color{blue}{2\sin(x)\cos(x)}+\sin(x)=0{\small.}\)


Упростим уравнение.

Для этого вынесем общий множитель \(\displaystyle \sin(x)\) за скобки:

\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\cdot{2\sin(x)\cos(x)}+\sin(x)=0{\small,}\)

\(\displaystyle \sin(x)(2\cos^2(x)-2\sqrt{2}{\cos(x)}+1)=0{\small.}\)


Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю:

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \color{blue}{2\cos^2(x)-2\sqrt{2}{\cos(x)}+1=0}{\small.}\)

Уравнение \(\displaystyle \color{blue}{2\cos^2(x)-2\sqrt{2}{\cos(x)}+1=0}\) имеет ровно одно решение

\(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)

В уравнении 

\(\displaystyle 2\cos^2(x)-2\sqrt{2}\cos(x)+1=0\)

сделаем замену \(\displaystyle y=\cos(x){\small:}\)

\(\displaystyle 2y^2-2\sqrt{2}y+1=0{\small.}\)

Получили квадратное уравнение. Решим его.

Дискриминант уравнения равен:

\(\displaystyle {\rm D}=(-2\sqrt{2})^2-4\cdot 2\cdot 1=0{ \small .}\)

Тогда единственный корень уравнения:

\(\displaystyle y=\frac{-(-2\sqrt{2})+0}{2\cdot2}=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle y=\cos(x){\small,}\) то

\(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)

Значит, уравнение 

\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin(2x)+\sin(x)=0\)

равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям 

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)